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2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第七讲 对数与对数函数学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第七讲 对数与对数函数学案新人教版

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第七讲　对数与对数函数

知识梳理·双基自测

知识点一　对数与对数运算
1．对数的概念
(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__x＝logaN__，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0，且a≠1)
__logaN__
常用对数
底数为__10__
__lg N__
自然对数
底数为__e__
__ln N__
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质：
①loga1＝__0__；
②logaa＝__1(其中a>0且a≠1)__.
(2)对数恒等式：
alogaN＝__N__.(其中a>0且a≠1，N>0)
(3)对数的换底公式：
logbN＝____(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
(4)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝__logaM＋logaN__；
②loga＝__logaM－logaN__；
③logaMn＝__nlogaM__(n∈R)．
知识点二　对数函数的图象与性质
1．对数函数的定义、图象和性质
定义
函数__y＝logax(a＞0，且a≠1)__叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1

性质
定义域：__(0，＋∞)__
值域：__(－∞，＋∞)__
当x＝1时，y＝0，即过定点__(1,0)__
当0＜x＜1时，y<0；当x＞1时，__y＞0__
当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，__y＜0__
在(0，＋∞)上为__增函数__
在(0，＋∞)上为__减函数__
2．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数__y＝logax__(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．

1．指数式与对数式互化

2．换底公式的两个重要结论
①logab＝；
②logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN(a>0，a≠1)．(　×　)
(2)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)
(3)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)
(4)y＝log2x2不是对数函数，而y＝log2(－x)是对数函数．(　×　)
(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　)
(6)2lg 3≠3lg 2.(　×　)
[解析]　(4)y＝log2(－x)不是对数函数．
(6)设2lg 3＝M,3lg 2＝N，则lg M＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2＝lg 3lg 2＝lg N，∴M＝N.
题组二　走进教材
2．(必修1P75T11改编)写出下列各式的值：
(1)log2＝__－__；
(2)log53＋log5＝__0__；
(3)lg ＋2lg 2－－1＝__－1__；
(4)(log29)·(log34)＝__4__.
[解析]　(1)log2＝log22－＝－；
(2)log53＋log5＝log51＝0；
(3)lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 4－－1＝lg 10－2＝－1；
(4)解法一：原式＝·＝＝4.
解法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.
3．(必修1P74AT4改编)若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12的值为(　C　)
A．a B．b
C．2a＋b D．2ab
[解析]　因为lg 2＝a，lg 3＝b，所以lg 12＝lg(4×3)＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b.故选C．
4．(必修1P74AT7改编)函数y＝的定义域是____.
[解析]　 (2x－1)≥0，即0<2x－1≤1，
解得<x≤1，定义域为.
5.(必修1P75AT10改编)已知图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝logax的图象，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次为(　B　)

A．3,2，， B．2,3，，
C．2,3，， D．3,2，，
[解析]　解法一：因为C1，C2为增函数，可知它们的底数都大于1，又当x>1时，图象越靠近x轴，其底数越大，故C1，C2对应的a值分虽为2,3.又因为C3，C4为减函数，可知它们的底数都小于1，此时x>1时，图象越靠近x轴，其底数越小，所以C3，C4对应的a分别，.综上可得C1，C2，C3，C4的a值依次为2,3，，.
解法二：可以画直线y＝1，看交点的位置自左向右，底数由小到大．
题组三　走向高考
6．(2020·课标Ⅲ，10,5分) 设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　A　)
A．a<c<b B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
[解析]　因为a＝log32＝log3<log3＝＝c，
b＝log53＝log5>log5＝＝c，所以a<c<b.故选A．
7．(2017·全国卷Ⅱ，5分)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　D　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
[解析]　由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D．

考点突破·互动探究
考点一　对数与对数运算——自主练透
例1 (1)＝____.
(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝____.
(3)(2021·保定模拟)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝____.
(4)若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝__12__，用m，n表示log46为____.
[解析]　(1)解法一：原式＝
＝＝＝.
解法二：原式＝＝＝.
(2)原式＝·＝·＝·＝.
(3)因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝.
(4)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12，log46＝＝＝.故填12；.
考点二　对数函数的图象与性质
考向1　对数函数的图象及其应用——师生共研
例2 (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　D　)

(2)(2020·合肥月考)当0<x≤时，4x<logax(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　B　)
A． B．
C．(1，) D．(，2)
[解析]　(1)解法一：当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增．
显然A、B、C、D四个选项都不符合．
当0<a<1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递减．
于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减．
因此，选项D中的两个图象符合，故选D．
解法二：易知a与必有一个大于1，一个小于1，则f(x)＝x与g(x)＝loga在各自定义域内单调性相反，可排除B；由g＝0可排除A、C．故选D．

(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在(0，]上的图象，可知，f<g，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为.
本题还有以下解法：
因为0<x≤，所以1<4x≤2，
所以logax>4x>1，
所以0<a<1，排除选项C，D；取a＝，x＝，
则有4＝2，＝1，显然4x<logax不成立，排除选项A．故选B．

名师点拨
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
〔变式训练1〕
(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　A　)

(2)若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为____.
[解析]　(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A．

(2)由x2－logax<0
得x2<logax，
设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，
要使x∈时，不等式x2<logax恒成立，
只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；
当0<a<1时，如图所示，
要使x2<logax在x∈上恒成立，
需f1≤f2，
所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a<1.
即实数a的取值范围是.
考向2　对数函数的性质及其应用——多维探究
角度1　比较对数值的大小
例3 (2020·课标Ⅲ，12,5分)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　A　)
A．a<b<c B．b<a<c
C．b<c<a D．c<a<b
[解析]　a＝log53∈(0,1)，b＝log85∈(0,1)，则＝＝log53·log58<2＝2<1，∴a<b.
又∵134<85，∴135<13×85，两边同取以13为底的对数得log13135<log13(13×85)，即log138>，∴c>.
又∵55<84，∴8×55<85，两边同取以8为底的对数得log8(8×55)<log885，即log85<，∴b<.
综上所述，c>b>a，故选A．
角度2　利用对数函数单调性求参数的取值范围
例4 (理)(2021·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，4] B．[4，＋∞)
C．[－4,4] D．(－4,4]
(文)函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(　C　)
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
[分析]　函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，说明在[2，＋∞)上，函数t＝x2－ax＋3a>0成立，且为增函数．
[解析]　(理)函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减⇒函数t＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增，且t>0⇒⇒－4<a≤4.故选D．
(文)题中隐含a>0，∴2－ax在区间[0,1]上是减函数．∴y＝logau应为增函数，且u＝2－ax在区间[0,1]上应恒大于零，∴∴1<a<2.
角度3　简单对数不等式的解法
例5 设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[解析]　由题意得
或
解得a>1或－1<a<0.故选C．
另解：令a＝2，由f(2)＝1>f(－2)＝－1，排除A、D．
令a＝－2，由f(－2)＝－1<f(2)＝1，排除B，∴选C．

名师点拨
1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·天津，6,5分)设a＝30.7，b＝－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　D　)
A．a<b<c B．b<a<c
C．b<c<a D．c<a<b
(2)(角度2)若函数f(x)＝(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　C　)
A． B．
C． D．
(3)(角度3)(2021·河南信阳质量检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a满足f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)由函数y＝3x单调递增，函数y＝log0.7x(x>0)单调递减，可知a＝30.7>30＝1，b＝－0.8＝30.8>30.7＝a，c＝log0.70.8<log0.70.7＝1，即c<1<a<b，故选D．
(2)由题意得：y＝(－x2＋4x＋5)增区间为(2,5)，
所以，解得m∈，故选C．
(3)∵log0.25a＝a＝－log4a且f(x)为偶函数，
∴f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)可化为f(log4a)≤f(1)，
又f(x)在[0，＋∞)内单调递增，∴|log4a|≤1，
∴log4＝－1≤log4a≤1≤log44，∴≤a≤4，故选B．

名师讲坛·素养提升
有关对数运算的创新应用问题
例6 (2020·全国新高考Ⅰ，6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 ＝1＋rT有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　B　)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
[解析]　因为R0＝3.28，T＝6，T0＝1＋rT，
所以r＝＝0.38，
所以I(t)＝ert＝e0.38t，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，
则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，
所以0.38t1＝ln 2，
所以t1＝≈≈1.8天．故选B．

名师点拨
在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．
〔变式训练3〕
里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__6__级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的__10 000__倍．
[解析]　根据题意，由lg 1 000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级，因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．