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2022版高考物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 第2节 抛体运动学案

2022版高考物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 第2节 抛体运动学案

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- 15 -

第2节　抛体运动

一、平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
二、平抛运动的基本规律
1．研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．基本规律

(1)位移关系

(2)速度关系

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 (×)
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。 (×)
(3)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 (×)
(4)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。 (×)
(5)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 (√)
2．(人教版必修2P10做一做改编)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的有(　　)

A．两球的质量应相等
B．A球先落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
[答案]　C
3．(人教版必修2P9例题1改编)从距地面h高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是(　　)

A．小球初速度为·tan θ
B．小球着地速度大小为
C．若小球初速度减为原来一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍
D．若小球初速度减为原来一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ
[答案]　B
4．(人教版必修2P12T1改编)由消防带水龙头的喷嘴喷出水的流量是0.28 m3/min，水离开喷口时的速度大小为16 m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A．28.8 m　1.12×10－2 m3 B．28.8 m　0.672 m3
C．38.4 m　1.29×10－2 m3 D．38.4 m　0.776 m3
A　[水离开喷口后做斜抛运动，将运动沿水平方向和竖直方向分解，在竖直方向上：
vy＝vsin θ　代入数据可得vy＝24 m/s
故水柱能上升的高度h＝＝28.8 m
水从喷出到最高处着火位置所用的时间t＝
代入数据可得t＝2.4 s
故空中水柱的水量为V＝×2.4 m3＝1.12×10－2 m3，A项正确。]

平抛运动的基本规律　
1．(2019·南通一模)如图所示，某同学以不同的初速度将篮球从同一位置抛出，篮球两次抛出后均垂直撞在竖直墙上，图中曲线为篮球第一次运动的轨迹，O为撞击点，篮球第二次抛出后与墙的撞击点在O点正下方，忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)

A．篮球在空中运动的时间相等
B．篮球第一次撞墙时的速度较小
C．篮球第一次抛出时速度的竖直分量较小
D．篮球第一次抛出时的初速度较小
B　[将篮球的运动反向处理，即可视为平抛运动，第二次下落的高度较小，所以运动时间较短，故A错误；水平射程相等，由x＝v0t得知第二次水平分速度较大，即篮球第二次撞墙的速度较大，第一次撞时的速度较小，故B正确；第二次时间较短，则由vy＝gt可知，第二次抛出时速度的竖直分量较小，故C错误；根据速度的合成可知，不能确定抛出时的速度大小，故D错误。]
2．在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中(　　)
A．速度和加速度的方向都在不断改变
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等

B　[由于不计空气阻力，小球只受重力作用，故加速度为g，方向不变；小球做平抛运动，速度的方向不断变化，在任意一段时间内速度的变化量Δv＝gΔt，如图所示，选项A错误；设某时刻速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，随着时间t的变大，tan θ变小，选项B正确；由图可以看出，在相等的时间间隔内，速度的改变量Δv相等，但速率的改变量v3－v2≠v2－v1≠v1－v0，故选项C错误；在竖直方向上位移h＝gt2，可知小球在相同的时间内下落的高度不同，根据动能定理，动能的改变量等于重力做的功，所以选项D错误。]
3．(2020·江苏高考改编)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则(　　)

A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的小
A　[位移为初位置到末位置的有向线段，如图所示可得sA＝＝l ，sB＝＝l，A和B的位移大小相等，A正确；平抛运动运动的时间由高度决定，即tA＝＝× ，tB＝＝，则A的运动时间是B的倍，B错误；平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则vxA＝＝ ，vxB＝＝，则A的初速度是B的，C错误；小球A、B在竖直方向上的速度分别为vyA＝2，vyB＝，所以可得vA＝，vB＝2＝，即vA>vB，D错误。]
4．(2019·江苏七市二模)如图所示，在飞镖比赛中，某同学将飞镖从O点水平抛出，第一次击中飞镖盘上的a点，第二次击中飞镖盘上的b点，忽略空气阻力，则(　　)

A．飞镖第一次水平抛出的速度较小
B．飞镖第二次抛出时的动能较小
C．飞镖两次在空中运动的时间相等
D．飞镖两次击中飞镖盘时的速度方向相同
B　[飞镖做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有：h＝gt2，得：t＝，知飞镖第二次下降的高度大，运动时间较长。由x＝v0t，x相等，知飞镖第二次水平抛出的速度较小，动能较小，故A、C错误，B正确。飞镖击中飞镖盘时的速度方向与水平方向夹角正切为：tan α＝＝，知飞镖第二次抛出时运动时间较长，而初速度较小，可知飞镖第二次抛出时击中飞镖盘时的速度方向与竖直方向的夹角较大，故D错误。]

平抛运动的重要结论和推论
1．飞行时间
由t＝知，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2．水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
3．落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。
4．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝。

(2)做平抛运动的物体在任意时刻，总有tan θ＝2tan α。

有约束条件的平抛运动　
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
2．常见类型示例
运动情景
物理量分析

vy＝gt，tan θ＝＝→t＝

x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝

tan θ＝＝→t＝

落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ →α＝φ－θ

tan θ＝＝→t＝

在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
[典例示法]　(一题多解)如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：

(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。
审题指导：
题干关键
获取信息
从O点水平飞出，不计空气阻力
运动员做平抛运动
经过3 s落到斜坡上的A点
空中运动时间为3 s，可求出竖直分运动的位移
斜坡与水平面的夹角θ＝37°
结合竖直分位移可求合位移和水平位移，进而求出水平分速度(即初速度)
[解析]　(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin 37°＝gt2
L＝＝75 m。
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcos 37°＝v0t，即v0＝＝20 m/s。
(3)法一　运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cos 37°、加速度为gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin 37°、加速度为gcos 37°)。当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v0sin 37°＝gcos 37°·t，解得t＝1.5 s。
法二　当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有＝tan 37°，t＝1.5 s。
[答案]　(1)75 m　(2)20 m/s　(3)1.5 s

与斜面相关平抛问题的两个分解思路
(1)以分解速度为突破口求解平抛运动问题：若知道某时刻的速度方向，要从分解速度的角度来研究，tan θ＝(θ为t时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
(2)以分解位移为突破口求解平抛运动问题：若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝(α为t时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、时间t、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。

[跟进训练]
　物体从空中抛出打在斜面上
1．(2020·株洲模拟)将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g取10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是(　　)

A．斜面的倾角是60°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度是15 m
C．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处
C　[设斜面倾角为θ，对小球在A点的速度进行分解，有tan θ＝，解得θ＝30°，A项错误；小球距过A点水平面的距离为h＝gt2＝15 m，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度肯定大于15 m，B项错误；若小球的初速度为v′0＝5 m/s，过A点作水平面，小球落到该水平面的水平位移是小球以初速度v0＝10 m/s抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在P、A之间，C项正确，D项错误。]
　物体从斜面上抛出落在斜面上
2．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
A　[甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确。]
3．如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是(　　)

A．φ1＞φ2 B．φ1＜φ2 C．φ1＝φ2 D．无法确定
C　[根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得：tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故C正确。]
4．如图所示，在斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为(　　)

A．16∶9 B．9∶16 C．3∶4 D．4∶3
B　[对于A球有tan 37°＝＝，解得tA＝；同理，对B球有tB＝，由此解得＝，故选项B正确，A、C、D错误。]
　“曲面”约束的平抛运动
5．如图所示，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为(　　)

A．tan α B．cos α C．tan α D．cos α
C　[设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2。对球1：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝gt，对球2：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝gt，联立可得＝tan α，C正确。]
6．(2020·湖南益阳模拟)如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆轨道相切于B点，已知抛出点在半圆轨道左端点(A点)的正上方，半圆轨道半径为R，直线OB与水平面成60°角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动的分析正确的是(　　)

A．小球到达B点飞行的时间为
B．小球平抛的初速度大小为
C．小球到达B点时水平位移为
D．小球到达B点时竖直位移为
B　[小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，经过B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，则tan 30°＝，小球在B点时的位移方向与水平方向的夹角α的正切值tan α＝tan 30°＝，又知x＝R＋Rcos 60°＝R，v＝2gy，联立解得y＝R，vy＝，v0＝，小球到达B点飞行的时间为t＝＝，选项A、C、D错误，B正确。]
平抛中的临界、极值问题　
平抛中常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
[典例示法]　排球场总长18 m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3 m线正上方被我方运动员击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g取10 m/s2)

(1)若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根号表示)
(2)若运动员仍从3 m线处起跳，击球高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平速度多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
[解析]　(1)球以v1速度被击回，球正好落在底线上，则h＝gt
x＝v1t1
将x＝12 m，h＝2.5 m　代入得v1＝12 m/s
球以v2速度被击回，球正好触网
h′＝gt
x′＝v2t2
将h′＝(2.5－2.25)m＝0.25 m，
x′＝3 m代入
得v2＝6 m/s
故球被击回的速度范围是
6 m/s<v≤12 m/s。
(2)若h较小，如果击球速度大，会越界，如果击球速度小则会触网，临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则＝，x、x′的数值同(1)中的值，
h′＝h－2.25 m
由此得h＝2.4 m
故若h<2.4 m，无论击球的速度多大，球总是触网或越界。
[答案]　(1)6 m/s<v≤12 m/s　(2)h<2.4 m

平抛运动临界、极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。

[跟进训练]
1．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)

A．<v<L1 B．<v<
C．<v< D．<v<
D　[设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3h－h＝gt　①，水平方向上有＝v1t1　②。由①②两式可得v1＝。
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝gt　③，在水平方向有＝v2t2　④。由③④两式可得v2＝。则v的最大取值范围为v1＜v＜v2。故选项D正确。]
2．(2019·天津部分中学联考)如图为某娱乐节目中某个比赛环节的示意图，参与比赛的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。

(1)若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
[解析]　(1)若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，则hsin 60°＝v0t，hcos 60°＝gt2，解得v0＝ m/s。
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1<v0，人将落在弧形坡上，下降高度y＝gt，水平前进距离x＝v1t1，且由几何关系可得x2＋y2＝h2，联立解得t1＝0.6 s。
[答案]　(1) m/s　(2)0.6 s