2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全word版).doc

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘
贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签
字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写
的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．
A． B． C． D．
2． 设集合，，若,则
A． B. ． C． D．
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．

5．设满足约束条件 则的最小值是
A． B． C． D．
6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种 C． 24种 D．36种

理科数学试题 第1页（共4页）
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的
A．2
B．3
C．4
D．5

9．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为
A． B． C． D．
10．已知直三棱柱中，, , , 则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
11．若是函数的极值点，则的极小值为
A． B． C． D．
12．已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取
次，表示抽到二等品件数，则 .
14．函数的最大值是 .
15．等差数列的前项和为，，，则 .
16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则 .
理科数学试题 第2页（共4页）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求.

18.（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖
方法有关；

箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确
到0.01）.

附：

.

理科数学试题 第3页（共4页）
19.（12分）
如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于地面，，,是的中点.
(1)证明：直线；
(2)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值.

20.（12分）
设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点在直线上，且. 证明：过点且垂直于的直线过的左焦点.

21.（12分）
已知函数，且.
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。
22.[选修：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为.
(1) 为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点 的轨迹的直角坐标方程；
(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.

23.[选修：不等式选讲]（10分）
已知.证明：
(1)；
(2).

理科数学试题 第4页（共4页）
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 参考答案

一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D
7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B

二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 16. 6

三、解答题
17.（1）由得，即，
，得，则有.
（2）由（1）可知，则，得，
又，则.

18.（1）旧养殖法箱产量低于50kg的频率为
，
新养殖法箱产量不低于50kg的频率为
，
而两种箱产量相互独立，则.
（2）由频率分布直方图可得列联表

箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66

则，
所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）新养殖法箱产量低于50kg的面积为，
产量低于55kg的面积为，
所以新养殖法箱产量的中位数估计值为（kg）.

19.（1）取中点，连结.因为为中点，则.而由题可知，则，即四边形为平行四边形，所以.又，故.
（2）因为，则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
取，设则得，，则，，可得点，所以.
取底面的法向量为，则，解得,则.因为,设面的法向量为，由得，取得，
则.故二面角的余弦值为.

20.（1）设，则，将点代入中得，所以点的轨迹方程为.
（2）由题可知，设，则，
.由得，由（1）有，则有，所以，即过点
且垂直于的直线过的左焦点.

21.（1）的定义域为，则等价于.
设，则.由题可知，则由解得，所以为上的增函数，为上的减函数.则有
，解得.
（2）由（1）可知，则.
设，则.由解得，所以为 上的增函数，为上的减函数.又因为，则在上存在唯一零点使得，即,且为，上的增函数，为上的减函数，则极大值为.
而，所以.
综上，.

22.（1）设极坐标为，极坐标为.则，
.由得的极坐标方程为.所以 的直角坐标方程为.
（2）设极标为，由题可知，则有
.
即当时，面积的最大值为.

23.（1）

（2）因为

，
所以，解得.