2022版高考数学一轮复习-第2章-函数的概念与性质-第8节-函数与方程学案新人教B版.doc
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2022版高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与性质 第8节 函数与方程学案新人教B版 2022版高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与性质 第8节 函数与方程学案新人教B版 年级: 姓名: 第8节 函数与方程 一、教材概念·结论·性质重现 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点. (2)三者之间的关系 函数f(x)有零点⇔函数f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数根. 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即∃x0∈(a,b),f(x0)=0. (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实数解. (2)由函数y=f(x)(图像是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0,如图所示.所以f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 3.二分法 条件 (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像连续不断; (2)所在区间端点的函数值满足f(a)f(b)<0 方法 不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值 4.有关函数零点的结论 (1)图像连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (2)连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. 二、基本技能·思想·活动体验 1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”. (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.( × ) (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在当b2-4ac<0时没有零点.( √ ) (3)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断),则f(a)f(b)<0.( × ) (4)若f(x)在区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0,则f(x)在(a,b)内没有零点.( × ) 2.下列函数图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) A 解析:根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点. 3.函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.和(3,4) D.(4,+∞) B 解析:因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0,且函数f(x)的图像连续不断,f(x)为增函数,所以f(x)的零点在区间(2,3)内. 4.函数f(x)=ex+3x的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析:由f′(x)=ex+3>0,得f(x)在R上单调递增.又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点. 5.已知2是函数f(x)=的一个零点,则f(f(4))的值是________. 3 解析:由题意知log2(2+m)=0,所以m=-1,所以f(f(4))=f(log23)=2log23=3. 6.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是________. (-8,1] 解析:由题意知m=-x2+2x在(0,4)上有解.又-x2+2x=-(x-1)2+1,所以y=-x2+2x在(0,4)上的值域为(-8,1],所以-8<m≤1. 考点1 判断函数零点所在区间——基础性 1.(多选题)已知函数f(x)=+x2-2,利用零点存在定理确定各零点所在的范围.下列区间中存在零点的是( ) A.(-3,-2) B. C.(2,3) D. ABD 解析:经计算f(-3)=-+-2=>0,f(-2)=-+2-2=-<0,f(-1)=-1+-2=-<0, f =2+-2=>0,f(1)=1+-2=-<0, f(2)=+2-2=>0,f(3)=+-2=>0. 根据零点判定定理可得区间(-3,-2),,上存在零点. 2.设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)( ) A.在区间,(1,e)内均有零点 B.在区间,(1,e)内均无零点 C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点 D 解析:当x∈时,函数图像连续不断,且f′(x)=-=<0,所以函数f(x)在上单调递减.又f =+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,所以函数f(x)有唯一的零点在区间(1,e)内. 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 考点2 确定函数零点的个数——综合性 (1)函数f(x)=的零点个数为( ) A.3 B.2 C.7 D.0 B 解析:(方法一:直接法)由f(x)=0得 或 解得x=-2或x=e. 因此函数f(x)共有2个零点. (方法二:图像法)函数f(x)的图像如图所示.由图像知函数f(x)共有2个零点. (2)设m,n∈Z,已知函数f(x)=log2(-|x|+8)的定义域是[m,n],值域是[0,3].当m取最小值时,函数g(x)=2|x-1|+m+1的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 C 解析:因为函数f(x)=log2(-|x|+8)的值域是[0,3],所以1≤-|x|+8≤8,即-7≤x≤7.因为函数f(x)=log2(-|x|+8)的定义域是[m,n],所以m的最小值为-7,此时g(x)=2|x-1|-6.令g(x)=2|x-1|-6=0,解得x=2+log23或x=-log23,即有两个零点. 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点. (2)函数零点存在定理,要求函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图像与性质确定函数零点个数. (3)利用图像交点个数,作出两个函数图像,观察其交点个数即得零点个数. 1.(2020·武邑中学调研)若函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=________. 2 解析:因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=-1+ln 2<0,f(3)=2+ln 3>0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2. 2.已知函数f(x)=x-cos x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________. 3 解析:如图,作出g(x)=x与h(x)=cos x的图像,可知g(x)与h(x)的图像在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3. 考点3 函数零点的应用——应用性 考向1 根据函数零点所在的区间求参数 (1)已知一元二次方程x2+ax+1=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则实数a的取值范围为________. 解析:设f(x)=x2+ax+1, 由题意知 解得-<a<-2. (2)若函数f(x)=x2-ax+1在区间上有零点,则实数a的取值范围是________. 解析:由题意知方程ax=x2+1在上有解,即a=x+在上有解.设t=x+,x∈,则t的取值范围是,所以实数a的取值范围是. 根据函数零点所在区间求参数的步骤 考向2 根据函数零点的个数求参数 已知函数f(x)=则使函数g(x)=f(x)+x-m有零点的实数m的取值范围是( ) A.[0,1) B.(-∞,1) C.(-∞,1]∪(2,+∞) D.(-∞,0]∪(1,+∞) D 解析:函数g(x)=f(x)+x-m的零点就是方程f(x)+x=m的根.画出h(x)=f(x)+x=的大致图像(图略). 观察它与直线y=m的交点,得知当m≤0或m>1时,有交点,即函数g(x)=f(x)+x-m有零点. 利用函数零点个数求参数的方法 由函数零点个数求参数问题,可采用数形结合法,先对解析式变形,变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中,画出两个函数的图像,然后数形结合求解. 设函数f(x)= (1)若a=1,则f(x)的最小值为________; (2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________. (1)-1 (2)∪[2,+∞) 解析:(1)若a=1,则f(x)= 作出函数f(x)的图像如图所示,由图可得f(x)的最小值为-1. (2)当a≥1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足21-a≤0,即a≥2; 当a<1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足解得≤a<1. 综上,实数a的取值范围为∪[2,+∞).- 配套讲稿:
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