限制性三体问题的已知解及其应用本科论文.doc
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1、限制性三体问题的已知解及其应用新疆大学毕业论文(设计)题 目: 限制性三体问题的已知解及其应用 毕业设计(论文)原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺:所呈交的毕业设计(论文),是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知,除文中特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果,也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体,均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名: 日 期: 指导教师签名: 日期: 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计(论文)的规定,即
2、:按照学校要求提交毕业设计(论文)的印刷本和电子版本;学校有权保存毕业设计(论文)的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务;学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文;在不以赢利为目的前提下,学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名: 日 期: 学位论文原创性声明本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名: 日期: 年 月 日学位论文版权使用授权
3、书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名:日期: 年 月 日导师签名: 日期: 年 月 日新 疆 大 学毕业论文(设计)任务书班 级:物理学06-2班 姓 名:布尔汗.沙拉木 论文(设计)题目:限制性三体问题的已知解及其应用 专 题: 理论物理 要求完成的内容:1、查找相关资料 2、了解自由电子激光的概念和历史发展 3、了解电子在电磁场中的
4、运动特性 4、理解自由电子激光的原理 5、了解自由电子激光的的应用 发题日期:2008年12月25日完成日期:2009年05月30日实习实训单位:新疆大学 地点:物理科学与技术学院论文页数: 页; 图纸张数: 页; 指导教师: 博尔汗 教研室主任: 院 长: 段海明 (教授) 声 明本人郑重声明:1、此毕业论文是本人在指导教师指导下独立进行研究取得的成果。除了特别加以标注和致谢的地方外,本文不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。对本文研究做出重要贡献的个人与集体均已在文中作了明确标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。2、本人完全了解学校、学院有关保留、使用学位论文的规定,
5、同意学校与学院保留并向国家有关部门或机构送交此论文的复印件和电子版,允许此文被查阅和借阅。本人授权新疆大学物理科学与技术学院可以将此文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本文。3、若在新疆大学物理科学与技术学院毕业论文审查小组复审中,发现本文有抄袭,一切后果均由本人承担(包括接受毕业论文成绩不及格、缴纳毕业论文重新学习费、不能按时获得毕业证书等),与毕业论文指导老师无关。作者签名: 日期: 年 月 日21摘 要最简单的例子就是太阳系中太阳,地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中,星球的大小可以忽略不记,所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球
6、的影响,那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的,所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。天体力学中的基本力学模型。研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。在一般三体问题中,每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程,或6个一阶的常微分方程。因此,一般三体问题的运动方程为十八阶方程,必须得到18个积分才能得到完全解。然而,目前还只能得到三体问题的10个初积分,因此还远不能解决三体问题关键词: 三体问题,平动点,令速度面,主星体,运动区,禁止区ABSTRACTKey word: 目
7、 录摘 要- 1 -前 信1第一章 N体问题的基本守恒规律与二体问题运动方程21.1 三体问题的发展简史21.2 N体问题的基本规律31.3动量守恒31.4角动量守恒41.5能量积分41.6 二体问题运动方程5第二章 限制性三提问题62.1 什么叫限制性三体问题62.2 圆形限制性三体问题72.2.2 Lagrange特解92.2.3、雅可比积分和准则122.24、零速度面13第三章 椭圆形限制性三体问题163.1运动方程的推导16参考文献19前 信最简单的例子就是太阳系中太阳,地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中,星球的大小可以忽略不记,所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响,
8、那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的,所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题.天体力学中的基本力学模型。研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。在一般三体问题中,每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程,或6个一阶的常微分方程。因此,一般三体问题的运动方程为十八阶方程,必须得到18个积分才能得到完全解。然而,目前还只能得到三体问题的10个初积分,因此还远不能解决三体问题第一章 N体问题的基本守恒规律与二体问题运动方程1.1 三体问题的发展简史1855年法国数学家庞加莱写了一
9、偏文章“关于三体问题的动态方程”带来了给三体问题方面近大一步。下面我们就来简单看一看庞加莱在这一时期的工作究竟给N体问题的解决带来了什么进展第一,庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时,不存在统一的第一积分(uniform first integral)。 也就是说即使是一般的三体问题,也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度, 把问题化简成更简单可以解出来的问题,这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程课的人大多在第二个星期就从老师那里知道绝大多数微分方程是没法找到定量的解的,但一般都能从定性理论中了解更多解的性质,甚至可以通过计算机“看到”解的形状行
10、为。而在庞加莱的年代,大多数数学家更热衷于用代数或幂函数方法找到解,使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱对于N体问题的研究,这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。 第二,为了研究N体问题,庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整地提出了不变积分(invariant integrals) 的概念,并且使用它证明了著名的回归定理(recurrence theorem)。另一个例子是他为了研究周期解的行为,引进了第一回归映象(first return map)的概念,在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特征指数(characteristic exponents),解对参数
11、的连续依赖性(continuous dependence of solutions with respect to parameters)等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念。 第三点,也许是最重要的一点,是庞加莱通过研究所谓的渐进解(asymptotic solutions),同宿轨道 (homoclinic orbits) 和异宿轨道(hetroclinic orbits),发现即使在简单的三体问题中,在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近,方程的解的状况会非常复杂,以至于对于给定的初始条件,几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时,这个轨道的最终命运。事实上半个世纪后,后来的
12、数学家们发现这种现象在一般动力系统中是常见的,他们把它叫做稳定流形(stable manifold)和不稳定流形(unstable manifold)正态相交(intersects transversally)所引起的同宿交错网(homoclinic tangle),而这种对于轨道的长时间行为的不确定性,数学家和物理学家称之为混沌(chaos)。庞加莱的发现可以说是混沌理论的最早起源了1.2 N体问题的基本规律设N个天体 P1、P2、P3、,.Pn,它们的质量分别是它们在某一惯性系里的位置矢量是根据牛顿的万有引力定律,任意两个天体的相互引力是: 式中表示Pi和Pj之间的距离,。按照牛顿第二定律
13、,任意一个天体的方程可写成: (1.2.1)定义: (1.2.2)U称N体系统的力函数,是一个标量函数,与天体相互位置有关。用力函数U,可将(1.2.1)式写成: (1.2.3)由(1.2.1)或( 1.2.3)看出N体系统的运动方程共有3n个二价微分方程,所以是6n价的。若存在6个独立积分:(1.2.4)(i = 1,2,,6n) 其中C为独立的积分常数,它们仅依懒于天体初始时刻的位置和速度。因此N体系统中任意天体的位置r和速度v都可由(1.2.4)式解出,它们是时间t和积分常数C的函数。200多年来尽管有很多数学工作者和天体力学工作者致力于这一工作,但到目前,仅找到十个独立积分,故除二体问
14、题外,其他N体系统的求积分问题尚未解决。从N体问题的定义看出,N体问题就是一般力学中的质点组动力学问题,正如理论力学中所得出的结论那样,整个系统存在动量守恒,动量矩守恒和能量守恒三大守恒定律。下面我们导出这次类积分。1.3动量守恒将运动方程(1.2.1)两端对i求和:(1.3.1)上式右端在求和过程中相加为零,所以右端总和为零。假如天体的质量m 与时间t无关,积分上 式得:,其中是积分常数,(1.3.1)式表明n个天体在相互引力作用下运动时,它们的总动能量守恒。将(1.3.1)式对时间再积分一次,得: (1.3.2)是又一积分常数。设是N体系质心的位置矢量,利用质心的定义 ,将(1.3.2)式
15、可以写成:(1.3.3)其中M为系统质量之总和。(1.3.3)和(1.3.1)式,可得: 。因此,系统的运动方程立即可降低6价。1.4角动量守恒将方程(1.1.1)两端乘,并将i求和:(1.4.1)同样由于项与之和为零,故上式右端总和也为零,积分后得: (1.4.2)称为角动量积分常数。由此可见通过系统的质心作一个平面垂直于,该平面不随天体运动而改变,故称不变平面,对于太阳系,过太阳的这一平面称为拉普拉斯不变面。1.5能量积分将运动方程两端点乘并对i求和: (1.5.1)(1.5.2)故(1.5.2)式右端是,积分后得:(1.5.3) E为积分常数,上式左端为系统的总动能T,可将(1.5.3)
16、写作:TU=E,故(1.5.3)式的物理意义是能量守恒。至此,我们得到三个动量积分(1.2.1),三个质心运动积分(1.3.2),三个角动量积分(1.4.2)和一个能量积分,(1.5.3)共十个积分,这十个积分称作N体问题的首次积分,利用这十个首次积分可将低N体问题运动方程的价数。1.6 二体问题运动方程二体问题是天体力学中N=2时唯一能得到完全解的一个动力系统二体问题又往往是多体问题和复杂运动的一级近以,它是研究 天体运动的一个基础,故是天体力学中一个基本问题。设有两个天体P1 和P2 ,它们的质量分别是M,m, 根据相互的引力作用下,它们在惯性系的运动方程是:(1.6.1)这里,如将原点选
17、择在质心O,如图(1-1),根据质心的定义有,因此(1.6.1)式可写成:(1.6.2)(1.6.2)式是两组相互独立的二价常微分方程,每一组有三个二价常微分方程组成,其完全解应有六个独立积分。根据(1.6.2),相对的运动方程是:(1.6.3)(1.6.3)式也是三个二价常微分方程。可见对于二体问题,无论是相对质心的运动还是相对运动,其运动方程都是六价的,可列成如下的统一形式:(1.6.4)若是相对运动;若是相对质心的运动 (1.6.4)式的完全解应该有六个独立积分。第二章 限制性三提问题2.1 什么叫限制性三体问题 一般三体问题经过降价后,仍没有解决,并且连一个新的初积分都还没有找到。对于
18、天体运动的实际问题,但大家采用数值方法或摄动方法找出问题的近以解。另外,又从理论上提出一些近以模型。这些模型当然是叁照天体具体情况提出的。试图通过解决一些近以的问题 促进一般问题的解决。限制性三提问题就是一种重要的近以模型。从本节开始,对这个问题的基本情况作些介绍。 先谈一下更广泛的限制性问题。在讨论天体或天体系统的运动时,应该考虑所有的作用力。但是作用力是很难全部考虑完的,使全部找出后,运动方程也是无法解出的。就以n体问题为列,其中只考虑n个质点之间万有引力,运动方程也解不出来。主要困难在于运动方程的价数太高,很难用分析方法或定性方法进行讨论。于是,邦加雷等人提出一种简化模型:只讨论一个天体
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