2022届高考数学一轮复习-课后限时集训空间图形的基本关系与公理北师大版.doc

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训空间图形的基本关系与公理北师大版

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训空间图形的基本关系与公理北师大版

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课后限时集训(四十二)　空间图形的基本关系与公理
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一、选择题
1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
C　[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]
2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是(　　)
A．① B．①④
C．②③ D．③④
B　[①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B.]
3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)

　 　 A　　　　　B　　　 C　　　　D
D　[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]

4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
C　[由题意知，D∈l，lβ，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.]
5.(2020·兰州模拟)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
B　[不妨设正方体的棱长为1，取A1D1的中点G，连接AG，易知GA∥C1E，则∠FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角．连接FG(图略)，在△AFG中，AG＝＝，AF＝＝，FG＝1，
于是cos∠FAG＝＝，故选B.]
6．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为
(　　)
A．30° B．60°
C．75° D．90°
D　[将正三棱柱ABC­A1B1C1补为四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接C1D，BD(图略)，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2，又因为BC1＝C1D＝，所以∠BC1D＝90°.]
二、填空题
7．已知AE是长方体ABCD­EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有________条．
4　[如图，作出长方体ABCD­EFGH.
在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4条．]
8．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________．
30°　[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．
由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，
GE∥CD，且GE＝CD＝2，
∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．
又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.
因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，
sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°，
∴EF与CD所成角的度数为30°.]
9．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)

　 ①　　　　 ②　　 　③　　　　④
②④　[图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．]

10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
[解]　(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC.
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)∵BE綊AF，G为FA的中点，
∴BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
[解]　(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角，
即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG
＝AC，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.

1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为(　　)
A. B．－
C. D．－
A　[如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，
则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，
∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．
设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，
∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG＝60°，
∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.]
2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
B　[如图所示， 作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F.
连接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，
∴△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2，
MF＝，BF＝，
∴BM＝.
∴BM≠EN.连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中点，∴点N在BD上，且BN＝DN.
又∵M为ED的中点，
∴BM，EN为△DBE的中线，
∴BM，EN必相交．故选B.]
3.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD.试证明：EG＝FH.
[解]　(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.
又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．
因为＝＝，所以EH＝BD.
同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.
故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．
(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.