2022届高考数学一轮复习-第5章-平面向量、数系的扩充与复数的引入-第4节-数系的扩充与复数的引入.doc

2022届高考数学一轮复习 第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数的引入教案 北师大版

2022届高考数学一轮复习 第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数的引入教案 北师大版

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　数系的扩充与复数的引入
[考试要求]　
1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.
2.了解复数的代数表示法及其几何意义.
3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．

1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类

(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
(3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0.(　　)
(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.(　　)
(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、教材习题衍生
1．设z＝(1＋i)(2－i)，则复数z在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，故复数z在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限．]
2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
D　[∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]
3．设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)
A．1 B．
C． D．2
A　[＝i，则z＝＝i，∴|z|＝1.]
4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
2＋i　[由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i.
∴z＝2＋i.]

考点一　复数的有关概念
　解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0.
(4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0.
1．(2020·广州模拟)如果复数z＝，则(　　)
A．z的共轭复数为1＋i　　　 B．z的虚部为－i
C．|z|＝2 D．z的实部为－1
D　[∵z＝＝＝＝－1－i，∴z的实部为－1，故选D.]
2．(2020·大连模拟)设(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是实数，i为虚数单位，则＝(　　)
A.1　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
D　[由x＋2xi＝x＋yi，x，y∈R，则y＝2x，＝|2＋i|＝，故选D.]
3．如果复数是纯虚数，那么实数m等于(　　)
A．－1 B．0
C．0或1 D．0或－1
D　[＝＝，因为此复数为纯虚数，所以解得m＝－1或0，故选D.]
考点二　复数的运算
　复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．
[典例1]　(1)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2020·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝(　　)
A．－i B．i
C．1－i D．1＋i
(1)C　(2)B　[(1)αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；＝＝＝－i，②正确；＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正确．
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝1＋i，所以解得所以z＝i，故选B.]
点评：(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；
(2)在含有z，，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.

1．(2020·全国卷Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－i D．i
D　[ ∵(1＋i)＝1－i，∴＝＝＝－i，∴z＝i，故选D.]
2．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
D　[法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.故选D.
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D.]
考点三　复数的几何意义
　与复数几何意义相关的问题的一般解法

[典例2]　(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)(2020·黄冈模拟)已知i是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为(　　)
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(1,0) D．(0，－1)
(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
(1)C　(2)A　(3)A　[(1)由题意可知z＝x＋yi，
所以|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝＝1.
∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
(2)∵＝＝i，∴该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)，故选A.
(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故选A.]
点评：复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．

1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D　[由已知＝(－2，－1)，＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，
它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]
2．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
2　[设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4.
因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝
＝
＝＝2.]