2016全国二卷理科数学高考真题及答案.doc

2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(–3,1) B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞,–3)
2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，则A∪B=( )
A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{–1,0,1,2,3}
3、已知向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，则m=( )
A．–8 B．–6 C．6 D．8
4、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=( )
A．– B．– C． D．2
5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9

6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π C．28π D．32π
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x=–(k∈Z) B．x=+(k∈Z) C．x=–(k∈Z) D．x=+(k∈Z)
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=( )
A．7 B．12 C．17 D．34
9、若cos(–α)=，则sin2α= ( )
A． B． C．– D．–
10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A． B． C． D．
11、已知F1、F2是双曲线E：–=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )
A． B． C． D．2
12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，...(xm,ym)，则( )
A．0 B．m C．2m D．4m
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=___________．
14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。 (2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。
(3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。
(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。
其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。
15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．
16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本题满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28。记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．

18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，AE=CF=，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=．
(1)证明：D'H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B–D'A–C的正弦值．

20、(本小题满分12分)已知椭圆E：+=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=ex的单调性，并证明当x>0时，(x–2)ex+x+2>0；
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
(1) 证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25．
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=，求l的斜率．

24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–|+|x+|，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．

参考答案
1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–3<m<1，故选A．

2、解析：B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}={x|–1<x<2，x∈Z}，∴B={0,1}，∴A∪B={0,1,2,3}，故选C．

3、解析： 向量a+b=(4,m–2)，∵(a+b)⊥b，∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0，解得m=8，故选D．

4、解析：圆x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)2+(y–4)2=4，故圆心为(1,4)，d==1，解得a=–，故选A．

5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B．
解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C条路，再从F处到G处最短共有C条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C·C=18条，故选B。

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．
由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l==4，S表=πr2+ch+cl=4π+16π+8π=28π，故选C．

7、解析：由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位得y=2sin2(x+)=2sin(2x+)，则平移后函数的对称轴为2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z，故选B。

8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C．

9、解析：∵cos(–α)=，sin2α=cos(–2α)=2cos2(–α)–1=，故选D．
解法二：对cos(–α)=展开后直接平方
解法三：换元法

10、解析：由题意得：(xi,yi)(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中

由几何概型概率计算公式知=，∴π=，故选C．

11、解析： 离心率e=，由正弦定理得e====．故选A．
12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y==1+也关于(0,1)对称，
∴对于每一组对称点xi+x'i=0，yi+y'i=2，
∴，故选B．

13、解析：∵cosA=，cosC=，sinA=，sinC=，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=，
由正弦定理：=，解得b=．

14、解析：对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为，所以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.

15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足；故甲(1,3)，
16、解析：y=lnx+2的切线为：y=·x+lnx1+1(设切点横坐标为x1)
y=ln(x+1)的切线为：y=·x+ln(x2+1)–，∴
解得x1=，x2=–。∴b=lnx1+1=1–ln2．

17、解析：(1)设{an}的公差为d，S7=7a4=28，∴a4=4，∴d==1，∴an=a1+(n–1)d=n．
∴b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2．
(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+...+[lga1000]．
当0≤lgan<1时，n=1，2，...，9；当1≤lgan<2时，n=10，11，...，99；当2≤lgan<3时，n=100，101，...，999；
当lgan=3时，n=1000．∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893．

18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)=1–P()=1–(0.30+0.15)=0.55．
(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P(B|A)===．
⑶解：设本年度所交保费为随机变量X．
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a，
∴平均保费与基本保费比值为1.23．
19、解析：(1)证明：如下左1图，∵AE=CF=，∴=，∴EF∥AC．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D'H．
∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|2=|OH|2+|D'H|2，∴D'H⊥OH．
又∵OH∩EF=H，∴D'H⊥面ABCD．
(2)方法一、几何法：若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=，AD=AB=5，∴DE=5–=，
∵EF∥AC，∴====，∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4–3=1，
∵HD’=DH=3，OD’=2，∴满足HD’2=OD’2+OH2，则△OHD’为直角三角形，且OD’⊥OH，
即OD’⊥底面ABCD，即OD’是五棱锥D’–ABCFE的高．
底面五边形的面积S=×AC·OB+=×6×4+=12+=，
则五棱锥D’–ABCFE体积V=S·OD’=××2=．
方法二、向量法。建立如下左2图坐标系H–xyz．B(5,0,0)，C(1,3,0)，D'(0,0,3)，A(1,–3,0)，
∴向量AB=(4,3,0)，AD'=(–1,3,3)，AC=(0,6,0)，
设面ABD'法向量n1=(x,y,z)，由得，取，∴n1=(3,–4,5)．
同理可得面AD'C的法向量n2=(3,0,1)，
∴|cosθ|===，∴sinθ=。

20、解析：(1)当t=4时，椭圆E的方程为+=1，A点坐标为(–2,0)，则直线AM的方程为y=k(x+2)．
联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+4k2)x2+16k2x+16k2–12=0。
解得x=–2或x=–，则|AM|=|–+2|=·。
∵AM⊥AN，∴|AN|=·=·。
∵|AM|=|AN|，k>0，∴·=·，整理得(k–1)(4k2–k–4)=0，
4k2–k+4=0无实根，∴k=1．
所以△AMN的面积为|AM|2=(·)2=．
(2)直线AM的方程为y=k(x+)，
联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2–3t=0。解得x=–或x=–，
∴|AM|=|–+|=·，∴|AN|=·
∵2|AM|=|AN|，∴2··=·，整理得，t=．
∵椭圆E的焦点在x轴，∴t>3，即>3，整理得<0，解得<k<2．

21、解析：(1)证明：f(x)=ex，∴f'(x)=ex(+)=。
∵当x∈(–∞,–2)∪(–2,+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。
∴x>0时，ex>f(0)=–1，∴(x–2)ex+x+2>0。
(2)g'(x)===，a∈[0,1)。
由(1)知，当x>0时，f(x)=ex的值域为(–1,+∞)，只有一解．使得·et=–a，t∈(0,2]。
当x∈(0,t)时g'(x)<0，g(x)单调减；当x∈(t,+∞)时g'(x)>0，g(x)单调增
h(a)===。
记k(t)=，在t∈(0,2]时，k'(t)=>0，∴k(t)单调递增，∴h(a)=k(t)∈(,]．

22、解析：(1)证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DEF∽Rt△CED，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF，=。
∵DE=DG，CD=BC，∴=。∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG。
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°．∴B，C，G，F四点共圆．
(2)∵E为AD中点，AB=1，
∴DG=CG=DE=，∴在Rt△GFC中，GF=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．

23、解：(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0，
由ρ2=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0．
(2)记直线的斜率为k，则直线的方程为kx–y=0，
由垂径定理及点到直线距离公式知：=，即=，整理得k2=，则k=±．

24、解析：(1)当x<–时，f(x)=–x–x–=–2x，若–1<x<–；当–≤x≤时，f(x)=–x+x+=1<2恒成立；当x>时，f(x)=2x，若f(x)<2，<x<1．综上可得，M={x|–1<x<1}．
(2)当a，b∈(–1,1)时，有(a2–1)(b2–1)>0，即a2b2+1>a2+b2，则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2，则(ab+1)2>(a+b)2，即|a+b|<|ab+1|，
证毕．