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2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.6 对数与对数函数学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.6 对数与对数函数学案北师大版

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姓名：

2.6　对数与对数函数
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.对数的概念
(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:

(2)a的取值范围　　　　　　　　　. 
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=　　　　　　　; 
②logaMN=　　　　　　; 
③logaMn=　　　　　(n∈R). 
(2)对数的性质:alogaN=N(a>0,且a≠1,N>0).
(3)对数换底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
3.对数函数的图像与性质

函数
y=logax(a>0,且a≠1)
a>1
0<a<1
图像

性质
定义域:　　　　　　 
值域:R
过定点　　　　 
当x>1时,y>0;
当0<x<1时,y<0
当x>1时,y<0;
当0<x<1时,y>0
在(0,+∞)内
是　　　　　 
在(0,+∞)内
是　　　　　 

4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数　　　　　　　(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线　　　对称. 

1.对数的性质(a>0,且a≠1,b>0)
(1)loga1=0;

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)log2x2=2log2x.(　　)
(2)函数y=log2x及y=log133x都是对数函数.(　　)
(3)当x>1时,若logax>logbx,则a<b.(　　)
(4)函数f(x)=lgx-2x+2与g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数.(　　)
(5)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),1a,-1.(　　)
2.(2020陕西西安中学八模,理3)已知x·log32=1,则4x=(　　)

A.4 B.6 C.4log32 D.9
3.(2020山东历城二中模拟四,3)已知a=log1516,b=log13π3,c=3-13,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.b<a<c B.a<c<b
C.c<b<a D.b<c<a
4.若函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},则函数y=loga|x|的图像大致是(　　)

5.(2020河北保定一模,理13)若2a=10,b=log510,则1a+1b=　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
对数式的化简与求值

【例1】化简下列各式:
(1)lg37+lg 70-lg 3-(lg3)2-lg9+1;
(2)log34273·log5412log210-(33)23-7log72.
思考对数运算的一般思路是什么?

解题心得对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
对点训练1(1)(2020全国1,文8)设alog34=2,则4-a=(　　)

A.116 B.19 C.18 D.16
(2)(2020山东泰安一模,5)已知定义在R上的函数f(x)的周期为4,当x∈[-2,2)时,f(x)=13x-x-4,则f(-log36)+f(log354)=(　　)
A.32 B.32-log32
C.-12 D.23+log32

考点
对数函数的图像及其应用

【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图像大致是(　　)

(2)已知当0<x≤12时,4x=logax有解,则实数a的取值范围是　　　　. 
变式发散将本例(2)中的“4x=logax有解”改为“4x<logax”,则实数a的取值范围为　　　　. 
解题心得应用对数型函数的图像可求解的问题:
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,也常利用数形结合思想;
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.
对点训练2(1)函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图像大致是(　　)

(2)函数y=|log2x|-12x的零点个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

考点

对数函数的性质及其应用(多考向探究)

考向1　比较含对数的函数值的大小

【例3】(1)(2020全国3,文10)设a=log32,b=log53,c=23,则(　　)
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
(2)(2020河北沧州一模,理9)已知a=log0.30.5,b=log30.5,c=log0.50.9,则(　　)
A.ab<ac<a+b B.a+b<ab<ac
C.ac<ab<a+b D.ab<a+b<ac
解题心得比较含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比较含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助函数的图像;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).
对点训练3(1)(2020山西太原二模,理3)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则(　　)

A.a<b<c B.a<c<b
C.b<a<c D.c<a<b
(2)(2020全国3,理12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(　　)
A.a<b<c B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
考向2　解含对数的函数不等式
【例4】(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若正实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)

A.[1,2] B.0,12 C.12,2 D.(0,2]
(2)设函数f(x)=log2x,x>0,log12(-x),x<0.若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
解题心得解简单对数不等式,先统一底数,化为形如logaf(x)>logag(x)(a>0,且a≠1)的不等式,再借助y=logax的单调性求解,当a>1时,logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>0,g(x)>0,f(x)>g(x),当0<a<1时,logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>0,g(x)>0,f(x)<g(x).
对点训练4(1)定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是　　　　　　. 
(2)不等式log(x-3)(x-1)≥2的解集为　　　　. 
考向3　对数型函数的综合问题
【例5】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0,且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.

解题心得有关对数型函数的综合问题要注意三点:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
对点训练5(1)(2020山东潍坊一模,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,记a=f(-ln 3),b=f(-log25),c=f(2m),则(　　)

A.a<b<c B.a<c<b
C.c<a<b D.c<b<a
(2)已知函数f(x)=loga(ax2-x+3)在[1,3]上递增,则a的取值范围是　　　　. 

1.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过图像与直线y=1交点的横坐标进行判定.
2.研究对数型函数的图像时,一般从最基本的对数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和0<a<1的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图像来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.
3.利用对数函数单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.

1.在运算性质logaMn=nlogaM中,要特别注意M>0的条件,当n∈N+,且n为偶数时,在无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|.
2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:
(1)定义域优先的原则.
(2)要有分类讨论的意识.

2.6　对数与对数函数
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)指数　对数　幂　真数　底数
(2)a>0,且a≠1
2.(1)①logaM+logaN　②logaM-logaN　③nlogaM
3.(0,+∞)　(1,0)　增函数　减函数
4.y=logax　y=x
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2.D　∵x·log32=1,∴x=log23,∴4x=4log23=4log49=9,故选D.
3.D　a=log1516>log1515=1,b=log13π3<log131=0,c=3-13=133,则0<c<1,所以b<c<a.故选D.
4.A　函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},则0<a<1,由此可知y=loga|x|的图像大致是A.
5.1　∵2a=10,∴a=log210,又b=log510,∴1a+1b=1log210+1log510=lg2+lg5=lg10=1.
关键能力·学案突破
例1解(1)原式=lg37×703-
(lg3)2-2lg3+1=lg10-(lg3-1)2
=1-|lg3-1|=lg3.
(2)原式=log33343·log5[10-(332)23-7log72]=(log3334-1)·log5(10-3-2)
=34-1·log55=-14.
对点训练1(1)B　(2)A　(1)因为alog34=log34a=2,所以4a=32=9,所以4-a=14a=19.故选B.
(2)由题意,f(log354)=f(log354-4)=flog323,∵当x∈[-2,2)时,f(x)=13x-x-4,且-log36∈[-2,2),log323∈[-2,2),∴f(-log36)+f(log354)=13 -log36-(-log36)-4+13 log323-log323-4=3log36+3log332+log36-log323-8=6+32+log39-8=32.故选A.
例2(1)C　(2)0,22　(1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;又函数y=2log4(1-x)在定义域内递减,排除D.故选C.
(2)

构造函数f(x)=4x和g(x)=logax.当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两个函数在0,12上的大致图像,如图所示.可知,只需两图像在0,12上有交点即可,则f12≥g12,即2≥loga12,则0<a≤22,所以a的取值范围为0,22.
变式发散22,1　设函数f(x)=4x和g(x)=logax,可知当a>1时不满足条件,当0<a<1时,f12<g12,即2<loga12,则a>22,所以a的取值范围为22,1.
对点训练2(1)A　(2)C　(1)由于函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是偶函数,故其图像关于y轴对称.当x>0时,f(x)=loga|x|+1(0<a<1)递减;当x<0时,f(x)=loga|x|+1(0<a<1)递增.再由图像过点(1,1),(-1,1),可知应选A.
(2)函数y=|log2x|-12x的零点个数即为方程|log2x|=12x的实数根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log2x|及y=12x的图像(图像略),不难得出两个函数的图像有2个交点,故选C.
例3(1)A　(2)D　(1)∵32a=32log32=log3223=log98<1,∴a<23.
∵32b=32log53=log5233=log2527>1,
∴b>23.又c=23,∴a<c<b.故选A.
(2)∵0=log0.31<log0.30.5<log0.30.3=1,即0<a<1;
log30.5<log31=0,即b<0;
0=log0.51<log0.50.9<log0.50.5=1,即0<c<1,∴ab<0,0<ac<1,即有ab<ac.
∵1a+1b=log0.50.3+log0.53=log0.50.9=c,即0<a+bab=c<1,
∴ab<a+b<0.
综上,ab<a+b<ac.故选D.
对点训练3(1)B　(2)A　(1)∵log51<log52<log55,∴0<a<12,b=log0.50.2=log1215=log25>log24=2,
∵0.51<0.50.2<0.50,
∴12<c<1,∴a<c<b,故选B.
(2)∵43a=43log53=log5334=log12581<1,∴a<34.
∵43b=43log85=log8354=log512625>1,∴b>34.
∵55<84,∴54b=54log85=log8455<1,∴b<45.
∵134<85,∴54c=54log138=log13485>1,∴c>45.
综上,a<b<c.
例4(1)C　(2)C　(1)因为log12a=-log2a,所以f(log2a)+f(log12a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得12≤a≤2,故选C.
(2)由题意可得a>0,log2a>-log2a或a<0,log12(-a)>log2(-a),解得a>1或-1<a<0.故选C.
对点训练4(1)(-∞,-2)∪0,12　(2){x|4<x≤5}　(1)由已知条件可知,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).
当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0<x<12;
当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.
所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪0,12.
(2)原不等式等价于x-1>0,x-3>1,x-1≥(x-3)2或x-1>0,0<x-3<1,x-1≤(x-3)2,解得4<x≤5,故原不等式的解集为{x|4<x≤5}.
例5解(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),所以x+1>0,1-x>0,解得-1<x<1.故所求函数的定义域为{x|-1<x<1}.
(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为{x|-1<x<1},f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x).
故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}上是增函数,
由f(x)>0,得x+11-x>1,解得0<x<1.所以x的取值范围是(0,1).
对点训练5(1)C　(2)0,16∪(1,+∞)
(1)根据题意,有f(-x)=f(x),即2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得m=0,
则f(x)=2|x|-1=2x-1,x≥0,2-x-1,x<0.
则f(x)在(0,+∞)上递增,
a=f(-ln3)=f(ln3),b=f(log25),c=f(20)=f(1),
又0<1<ln3<2<log25,则c<a<b,故选C.
(2)令t=ax2-x+3,则原函数化为y=f(t)=logat.
当a>1时,f(t)为定义域上的增函数,所以要保证t=ax2-x+3在[1,3]上递增,
所以12a≤1,a-1+3>0,a>1,解得a>1.
当0<a<1时,f(t)为定义域上的减函数,所以要保证t=ax2-x+3在[1,3]上递减,所以12a≥3,9a-3+3>0,0<a<1,解得0<a≤16.
故a的取值范围为0,16∪(1,+∞).