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2022届高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理、余弦定理教案 北师大版

2022届高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理、余弦定理教案 北师大版

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　正弦定理、余弦定理
[考试要求]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)＝＝2R
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时，使用余弦定理比使用正弦定理简洁．
2．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　　)
(3)在△ABC中，＝.(　　)
(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、教材习题衍生
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D.
D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A. B.
C. D.
C　[由题意知，a＝BC＝7，b＝AC＝3，c＝AB＝5，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－.
又因为∠BAC是△ABC的内角，
所以∠BAC＝，故选C.]
3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．
等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则b＝________.
7　[S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin ＝a＝，解得a＝3.
∴b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×＝49，
∴b＝7.]

考点一　利用正、余弦定理解三角形
　解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
[典例1]　(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
[解]　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°
＝.
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C或C＝π－m－B，由此可消去B或C.

1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．3
A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.
故选A.]
2．[结构不良试题](2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
[解]　方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．

考点二　利用正、余弦定理解决三角形面积问题
　1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[典例2]　(1)(2020·长沙模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则a＋b＝________.
(2)(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
①若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
②若sin A＋sin C＝，求C.
(1)　[由(3b－a)cos C＝ccos A，得3sin Bcos C－sin Acos C＝sin Ccos A，即3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B，又sin B≠0，所以cos C＝，得sin C＝.由S△ABC＝absin C＝3，得ab×＝3，得ab＝9.又c是a，b的等比中项，所以c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得ab＝a2＋b2－ab.
∴a2＋b2＝ab＝×9＝15，即a2＋b2＝15，则(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝15＋18＝33，即a＋b＝.]
(2)[解]　①由题设及余弦定理，
得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，
解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2.
因此△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.
②在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C＝sin(30°＋C)，
故sin(30°＋C)＝.
而0°<C<30°，所以30°＜30°＋C＜60°，
所以30°＋C＝45°，故C＝15°.

1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为________．
　[因为a2＋b2－c2＝ab，
所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2sin ＝.]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
[解]　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝，得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)．所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
考点三　判断三角形的形状
　1.判定三角形形状的两种常用途径

2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
[典例3]　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，已知a－b＝ccos B－ccos A.
①判断△ABC的形状；
②若C＝120°，a＝2，求c.
(1)B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，
∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．]
(2)[解]　①由正弦定理＝＝及a－b＝ccos B－ccos A，
可得：sin A－sin B＝sin Ccos B－sin Ccos A，
可得：sin(B＋C)－sin(A＋C)＝sin Ccos B－sin Ccos A，
可得：sin Bcos C＋cos Bsin C－sin Acos C－cos Asin C＝sin Ccos B－sin Ccos A，
可得：sin Bcos C－sin Acos C＝0，
则cos C(sin B－sin A)＝0，
则cos C＝0或sin B－sin A＝0，
所以C＝90°或A＝B，
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．
②因为C＝120°，则△ABC为等腰三角形，从而a＝b＝2，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c2＝4＋4－2×2×2×cos 120°，
所以c＝2.

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
C　[因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]
2．在△ABC中，已知sin Bsin C＝cos2，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B　[∵sin Bsin C＝cos2＝，
∴2sin Bsin C＝－cos Bcos C＋sin Bsin C＋1，
∴cos Bcos C＋sin Bsin C＝cos(B－C)＝1，
∵－π＜B－C＜π，
∴B－C＝0，B＝C，
∴三角形为等腰三角形，故选B.]