初中数学一元二次方程的解法.doc
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个人收集整理 勿做商业用途 解一元二次方程: 例1 x2—4-(2x+4)=0 (因式分解法)解:(x+2)(x-2)—2(x+2)=0 (x+2)[(x—2)—2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x1=-2 , x2=4。 (配方法)解:x2-2x-8=0 X2-2x=8 X2-2x+(—1)2=8+(-1)2 即(x—1)2=9 X-1=3 所以 x1=4 , x2=—2. (公式法)解:x2-2x-8=0 →Δ=(—2)2—4×1×(-8) =36〉0 所以 x1,2= 即x1=4 , x2=-2. (“x2+(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法) 解:x2-2x+(—4)=0 (X—4)(x+2)=0 所以 x1=4 , x2=-2. 1 例2 用配方法解下列一元二次方程: (1) x2-6x+5=0; (2) 2x2+4x—3=0; (3) 9x2+6x—1=0; (4) 4x2-12x+m=0 (m为任意实数)。 解:(1) x2-6x=-5 X2—6x+(-3)2=—5+(—3)2 即(x-3)2=4 X-3=2 所以 x1=5 , x2=1. (2) x2+2x= X2+2x+12=+12 (X+1)2= X+1= 所以 x1=-1+ , x2=-1- (3) (3x)2+2×3x=1 (3x)2+2×3x×1+12=1+12 (3x+1)2=2 3x+1= 所以x1= ,x2=-. 2 (4) (2x)2-2×2x×3=-m (2x)2-2×2x×3+32=—m+32 (2x-3)2=9-m 所以 ①当9—m≥0即m≤9时 ,2x—3= X1= , x2=; ②当9—m<0即m>9时 ,方程无实根. 例3 用公式法解下列一元二次方程: (1) 2x2—3x+1=0; (2) 3x2+1=2x; (3) x(1-2x)+3=0; (4) x2—2x=t (t为任意实数)。 解:(1)由一元二次方程的一般式知 a=2,b=-3,c=1; →Δ=b2—4ac =(-3)2—4×2×1 =1>0 所以 x1,2= 即x1=1 , x2=. (2)方程整理为3x2-2x+1=0 →Δ=(-2)2—4×3×1 =-8<0 所以 方程无实根。 3 (3) 方程变形为2x2—x-3=0 →Δ=(—1)2—4×2×(-3) =25>0 所以 x1,2= 即x1= , x2=—1. (4) X2-2x—t=0 →Δ=(-2)2-4×1×(—t) =4(t+1) ① 当Δ≥0即t≥-1时,x1,2= 即x1=1+ , x2=1—。 ② 当Δ<0即t〈-1时,方程无解。 例4 用因式分解法解下列方程: (1) (2x+3)2-2x=3; (2) (y-1)2+2y(y-1)=0; (3) (2x—1)2—1=x2—2x; (4) t2—5t-6=0. 解: (1) 原方程可变形为(2x+3)2—(2x+3)=0 (2x+3)[(2x+3)-1]=0 即2(2x+3)(x+1)=0 故 2x+3=0 或 x+1=0 所以 x1=— , x2=-1。 (2) 提取公因式得(y—1)[(y-1)+2y]=0 即(y—1)(3y-1)=0 4 故 y-1=0 或 3y-1=0 所以 y1=1 , y2=。 (3) 原方程移项,整理得(2x—1)2-(x2—2x+1)=0 (2x-1)2-(x—1)2=0 [(2x-1)+(x—1)][(2x—1)-(x-1)]=0 即x(3x-2)=0 所以 x1=0 , x2=. (4) (变形1) t2—1-5t—5=0 (t+1)(t-1)-5(t+1)=0 提取公因式得(t+1)[(t-1)-5]=0 即(t+1)(t-6)=0 所以 t1=-1 , t2=6. (变形2)t2+t—6t-6=0 t(t+1)—6(t+1)=0 提取公因式得(t+1)(t—6)=0 所以 t1=—1 , t2=6 5- 配套讲稿:
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