复积分计算方法的探讨毕业论文.doc

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本科毕业论文

复积分计算方法的探讨

Discussion on the calculation
method of the complex integral

（

姓 名：
专 业：
指导教师姓名：
指导教师职称：
（

201 年 月

II

摘 要
复积分即是指复变函数积分.复变函数作为数学的一门基础课，在它的分析理论中,复积分研究的主要对象是解析函数，它把复积分的各项知识有机的结合了起来.解析函数中的大部分重要性质都要通过复积分来证明和表述.在复积分的计算中柯西积分定理处于重要地位, 而复变函数积分的计算是积分理论的关键问题之一，也是相对来说较难解决的问题.因此，对复积分及其计算方法的研究显得尤为重要.
在日常生活中，复变函数的重要性很强，其中解析函数更是在理论和实践中都有着广泛的应用，它可以解决很多物理学等的实际问题.因此就复积分的计算方法进行总结和探讨是十分重要的.柯西积分公式、牛顿-莱布尼茨公式、解析函数的高阶导数公式以及留数定理对复积分的计算起到很大的帮助.本文将依次介绍复变函数积分的概念以及性质，然后对几种常见的计算复积分的方法作出了系统的归纳和总结，针对每一种计算方法给出例子，从中揭示诸多方法的内在联系，并且还概括了一些求解复变函数积分的小诀窍.如此，当我们再遇上复变函数积分时，就能够根据这个复积分的特点来挑选适合的计算方法，缩短解题时间，从而提高解题效率.

关键词：复变函数积分 牛顿-莱布尼茨公式 柯西积分公式 留数定理

Abstract
Complex integration entails Complex integration.Complex function as a basic course in mathematics, in its analysis theory, the main object is to study the complex integration of analytic functions.The most important analytic functions have to prove the nature and presentation through complex integration.In the calculation of complex integral Cauchy integral theorem in an important position, one of the key issues being undone Function Integral Integral theory calculation formula is relatively difficult problem.Therefore, the study of complex integration and its calculation method is very important.
In everyday life, the importance of a strong complex function which is analytic function theory and practice have a wide range of applications, it can solve many practical problems in physics and the like.Therefore, the method of calculating the complex to summarize and discuss integration is very important.Cauchy's integral formula, Newton - Leibniz formula, higher order derivatives of analytic functions and formulas remain integral theorem for complex calculations play a great help.This article will introduce the concept and the nature of turn complex function integration, and several common methods for calculating complex system integration made and summarized, examples are given for each calculation method, which reveals the internal relations of many methods, and also outlines some of solving complex function integral tips.So, when we re-encounter complex function points, according to the complex will be able to select the characteristics of the integral calculation methods suitable to shorten the time solving problems, thereby improving the efficiency of solving problems.

Key words: Complex integration Newton - Leibniz formula Cauchy's integral formula T The residue theorem

目 录
摘 要 I
Abstract II
第一章 复变函数积分简介 1
1.1 复变函数积分概述 1
1.1.1 有向曲线的概念 1
1.1.2 复变函数积分的定义 1
第二章 常见的复积分几种算法 3
2.1 用牛顿-莱布尼茨公式（）计算复积分 3
2.2 利用定义求解复积分 3
2.3 把复积分化为实变量的实曲线积分来求解 4
2.4 用解析函数的高阶导数公式求解复积分的方法 6
2.5 利用柯西积分公式求解复积分的方法 7
2.6 用柯西定理及其推论计算复积分 8
2.7 利用留数定理求解复积分 9
第三章 小结 11
致 谢 13
参考文献 14
原创性声明 15
论文使用授权声明 15

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第一章 复变函数积分简介
1.1 复变函数积分概述
1.1.1 有向曲线:

设为一条给定的平面上光滑(或按段光滑)曲线, 然后选定的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把称为带有方向的曲线, 简称为有向曲线.如上图中所示.
如果曲线的正向为到，记为.那么曲线的负向就是到，记为.一般曲线的正方向总是指从起点到终点的方向.反之，曲线的负向就是终点到起点的方向，记为.闭曲线方向的定义:逆时针方向为正方向，记为.顺时针方向为负方向，记为.对区域的边界线而言，的正向是指当曲线上的点沿此方向前进时，所围区域始终在点的左方.单连通区域的边界线的正向沿逆时针方向:记为多连通区域的外边界线的正向沿逆时针方向:记为.内边界线的正向沿顺时针方向:记为.
1.1.2 复积分的定义
设为复平面上以为起点，而以为终点的光滑曲线（有连续导数），在上取一系列分点把分为段，在每一小段上任取一点作和数,
当，且每一小段的长度趋于零时，若存在，则称沿可积，称为沿的路径积分.为积分路径，记为(若为围线（闭的曲线），则记为).（在上取值，即在上变化）.如图中所示.

2

第二章 复积分的几种计算方法
常见的复积分几种计算方法有：1.用牛顿-莱布尼茨公式计算复积分；2.利用定义求解复积分；3.化复积分为实变量的实曲线积分来求解；4.用解析函数的高阶导数公式求解复积分的方法；5.利用柯西积分公式求解复积分的方法；6.用柯西定理及其推论计算复积分；7.利用留数定理来求解复积分；
2.1 用牛顿-莱布尼茨公式（）计算复变函数积分
定理2.1.1 公式：设在单连通域内解析．，为的原函数，则
．
在积分与路径无关的条件下（即被积函数在单连通区域内处处解析）也可直接按类似于实积分中的公式计算.
例2.1.1　计算积分 I=，其中Ｃ为（ｘ－１）＋ｙ ＝１的上半圆周，逆时针方向.
解 因为 和在复平面上处处解析，则
Ｉ==(+)=--3
用公式求解复积分时要注意以下几点：(1)原域是单连通域；(2)积分值仅与起点、终点有关，与具体的路径无关（即积分与积分路径无关时）；(3)原函数是初等函数.
2.2 利用定义求解复积分
例2.2.1 计算复积分，其中积分路径C是连接由0到的直线段.
解 为从点0到点的直线方程，则有

.
例2.2.2 计算积分 1)；2)，其中积分路径是连接点及点的任一曲线．
解 首先，对进行分割，并近似求和，则
（1）当为闭曲线时，．因为，，所以
，
即
．
（2）当为闭曲线时，．，沿连续，则积分存在，设，则
，
又可设，则
，
因为存在的极限，且极限应与及极限相等，所以
，
则．
说明 通常当积分曲线分为小段时，考虑利用定义法来求解复积分．但是这种方法比较繁琐，所以不常使用．
2.3 把复积分化为实变量的实曲线积分来求解
假设复变函数定义在区域上，是上可求长曲线（或逐段光滑曲线），并设存在．设，沿曲线C连续，有
． (2.1)
按曲线的参数方程特点，则式（2.1）可化为三种具体的计算公式：
定理2.3.1
当光滑曲线的参数方程为且．分别对应的起点和终点，则式（2.1）可化为
=
+． (2.2)
例2.3.1 求．为（），方向从指向．
解 ，由式（2.2）得出
=+
=
=
=．
定理2.3.2
当光滑曲线方程为，．则可化式（2.1）为
=
+． (2.3)
例2.3.2 求 ，为抛物线．
解
=
=．
定理2.3.3
当光滑曲线方程为分别对应于的起点和终点．则式(2.3)可化为
． （2.4）
说明 利用式（2.4）计算复变函数积分时，只需将看作一个一般的常数，然后按定积分计算式（2.4)的右端．如此在方法上来的更简便，更能缩短计算时间，提高解题效率．
例2.3.3 求．为连接到再到 的折线．
解 从到的直线段方程为．从到的直线段方程为．即．故由式（2.4）得

= =．
说明 当为圆弧，时，可表示为，则
． (2.5)
例2.3.4 为单位圆上的上半圆周，方向为从到．求．
解 ：．由．故
=．
2.4 用解析函数的高阶导数公式求解复积分的方法
定理2.4.1 高阶导数公式：设在内解析，在上连续，为的边界，，有

例2.4.1 计算为.
解 因被积函数的两个奇点是，分别以这两点为心做两个完全含于而且互不相交的圆周.

例2.4.2 求，其中为包含圆周的正向简单闭曲线，，．取为，为．
解 在内部，由式（1.11）

= ．
2.5 利用积分公式求解复积分的方法
定理2.5.1 积分公式：设区域的边界是周线或复周线，函数在内解析，在上连续，则有，即
．
例2.5.1 计算，其中为圆周.
解 因被积函数的两个奇点是，分别以这两点为心做两个完全含于且互不相交的圆周.则有

.
此题是积分公式与积分定理复周线情形的结合.
2.6 用定理及其推论求解复积分
定理2.6.1 积分定理：设在单连通区域内解析，为内任一条周线，则.
积分定理的等价形式：设是一条周线，为之内部，在闭域上解析，则.
例2.6.1 求，其中为圆周，
解 圆周为，被积函数的奇点为，在的外部，于是，在以为边界的闭圆上解析，故由柯西积分定理的等价形式得.
如果为多连通区域，有如下定理：
设是由复周线所构成的有界多连通区域，在内解析，在上连续，则.
例2.6.2 计算积分.
分析 被积函数在上共有两个奇点和，在内作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.
解 显然，
任作以与以为心，充分小半径的圆周及，将二奇点挖去，新边界构成复周线 .

.
注：选择积分定理时要求被积函数的解析区域是单连通的，所以积分定理具有一定的局限性，但是计算起来较为简便.

2.7 用留数定理求解复积分的方法
定理2.7.1 留数定理：在复周线或周线所围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则
．
设为的阶极点，，其中在点解析，，则．这里符号代表，且有．
说明 (1)积分定理、积分公式以及解析函数的高阶导数公式，都是留数定理的特殊情况；
(2)凡是能用积分定理、积分公式以及解析函数的高阶导数公式计算的复积分都能够用留数定理来计算．
例2.7.1 计算积分
解 在｜z｜＝１内有孤立奇点ｚ＝０，其洛朗展开式为
=1+
则，=0

第三章 小 结
本文研究了复积分计算的多种计算方法，权衡各种方法的利弊，那在复积分计算中应该怎样选择计算方法呢？我们知道,复积分是由积分路径、被积函数以及积分微元三部分构成.其中积分路径和被积函数对复积分起着决定性的作用.所以当选择计算方法时，要熟能生巧，透彻理解好积分路径与被积函数的特点，进而选择最恰当计算方法，以高效率来解题.在本篇论文中主要强调了复积分计算的具体应用及其实际计算方法，其探讨步骤包括以下几个:
1.复变函数积分的概念,并从有向曲线入手研究了复积分的定义,综合地从多角度分析了其性质的应用；2.从性质入手,研究复积分的计算方法,把复积分化为实变量的实曲线积分的计算方法是一个研究的关键,这在本论文的计算方法研究一开始就做了研究；3.在论文探讨过程中,学会应用柯西公式计算相关的问题与项目；4.留数定理计算此类问题的方法也十分重要,在应用过程中,注意相关的问题处理方法；5.懂得应用柯西推论计算复积分,学会在其中插入其他相关知识,融会贯通；6.求复积分的具体方法还有高阶导数公式计算,并且要求熟练使用高阶导数公式,将理论真正的应用到实际问题之中.
另外，本文也总结了一些通过题目的特点选择计算方法的规律：1.如果被积函数位于简单光滑的曲线上，并且连续可微时，通常利用参数方程法对积分执行相对应的运算.这是计算复积分的基本方法之一，利用经典的参数方程法，这个方法可以方便进行计算得出结果；2.当被积函数在某一单连通域内解析时，则可选择用公式来进行计算；3.当积分曲线分成小段时，那么可以直接进行计算得出结果(不常用)；4.当题目涉及到围线积分时，要首先考虑选择积分定理、积分公式或者留数定理来进行计算，在其中留数定理的应用最广泛最简便；5.另外高阶导数公式也可以用来计算某种特定形式的复积分.在上述各种计算方法中，选择高阶导数公式计算复积分时，当被积函数的阶数过高，计算会过于繁琐浪费时间，这时选择留数定理来计算复积分，就能简化很多计算步骤，提高效率.
总之，在解答关于复变函数积分的问题时，要通过题目的特点来选择不同的计算方法.首先，应该判断积分是否属于封闭曲线，然后再确定被积函数的解析性，最后可以通过这些特点来决定采取哪一种方法解决这个积分问题.采用以上解题思路来选择复积分的计算方法，在计算有关复积分的问题时就能达到最高的解题效率，做到最快最好解决问题，让复积分计算得到最优解题思路，让解决复积分问题变得轻松简便，得心应手.

15

致 谢
转眼之间，大学四年的生涯就要这么结束了，浑浑噩噩的过了四年，有很多的遗憾和惋惜，回首往事，也算明白什么叫一步错步步错的道理，但是至少这些东西没有击垮我，相反会让我更成熟，更坚定.在马上离开校园的这段时间，我一直在想，我应该对自己的大学四年生活有个交代，那么就用这个毕业论文来总结一下自己的大学四年和大学生活.
首先，感谢XX老师在我开题初期为我提供的论文题目，在初期因为选题的困难也着实让我头疼了一番，最后只能求助XX老师，并且敲定了这个毕业论文——复积分计算方法的探讨.在论文的编写过程中，也遇到了很多问题，因为我对复变函数的知识不是很熟悉，所以在编写的初期毫无头绪.我就购买了两本复变函数的参考书，并且详加阅读和实战了一番，最终终于掌握了基本的解题技巧和基础.不过之后也遇到了很多问题，这些核心问题的解决，我则要感谢老师和同学的热心帮助，谢谢他们能在百忙之中抽出时间，为了解答我论文上的疑惑.最后，感谢学院这四年，无论是学术上还是活动上，带给我的经验和教训，虽然有些结果并不是让人满意，但是我很珍惜这些经历，因为这些经历，才让我冷静清醒的面对未来的方向.知道自己接下来的路该怎么走，该朝哪走.同样，感谢我的室友，我大学的伙伴，你们的所作所为，同样也是我这段青春的宝贵记忆和教训.

参考文献
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[2] 陈静等.复变函数积分的几种计算方法[J].河南机电高等专科学校学报,2013.
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1. 80196单片机IP研究与实现,TN914.42
2. AT89S52单片机实验系统的开发与应用,TG155.1 F406
3. 基于单片机的LED三维动态信息显示系统,O536 TG174.444
4. 基于单片机的IGBT光伏充电控制器的研究,TV732.1 TV312
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