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2020-2021高中数学 第八章 成对数据的统计分析素养检测新人教A版选择性必修第三册

2020-2021高中数学 第八章 成对数据的统计分析素养检测新人教A版选择性必修第三册

年级：
姓名：

单元素养检测(三)(第八章)
(100分钟　120分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在回归分析中,代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是 (　　)
A.总偏差平方和 B.残差平方和
C.回归平方和 D.相关指数
【解析】选B.因为拟合效果的好坏是由残差平方和来体现的,而拟合效果即数据点和它在回归直线上相应位置的差异,故数据点和它在回归直线上相应位置的差异是通过残差平方和来体现的.
2.从某大学中随机选取8名女大学生,其身高x(单位:cm)与体重Y(单位:kg)数据如表:
x
165
165
157
170
175
165
155
170
Y
48
57
50
54
64
61
43
59
若已知Y与x的经验回归方程为=0.85x-85.71,那么选取的女大学生身高为175 cm时,相应的残差为 (　　)
A.-0.96 B.0.96 C.63.04 D.-4.04
【解析】选B.已知Y与x的经验回归方程为=0.85x-85.71.
当x=175时,=63.04.
相应的残差为:64-63.04=0.96.
3.在对人们休闲方式的一次调查中,根据数据建立2×2列联表:
性别
休闲
合计
看电视
运动
男
8
20
28
女
16
12
28
合计
24
32
56
为了判断休闲方式是否与性别有关,根据表中数据,得到χ2=≈4.667.因为3.841≤χ2≤6.635,所以推断休闲方式与性别有关系,那么这种判断出错的可能性不大于 (　　)
(参考数据:P≈0.05,P≈0.01)
A.0.001 B.0.01 C.0.05 D.0.005
【解析】选C.结合题意和独立性检验的结论,
由于4.667>3.841,故这种判断出错的概率不大于0.05.
4.2020年初,新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来,各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某地开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示:
周数(x)
1
2
3
4
5
治愈人数(Y)
2
17
36
93
142
由表格可得Y关于x的二次回归方程为=6x2+a,则此回归模型第4周的残差(观测值与预测值之差)为 (　　)
A.5 B.4 C.1 D.0
【解析】选A.设t=x2,则==11,==58,a=58-6×11=-8,所以=6x2-8.令x=4,得e4=y4-4=93-6×42+8=5.
5.在变量Y与x的回归模型中,它们对应的相关系数r的值如表,其中拟合效果最好的模型是 (　　)
模型
1
2
3
4
r
0.48
0.15
0.96
0.30
A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4
【解析】选C.线性回归分析中,相关系数为r,越接近于1,相关程度越大;越小,相关程度越小,因为模型3的相关系数r最大,所以拟合效果最好.
6.为大力提倡“厉行节约,反对浪费”,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:
性别
光盘行动
合计
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
附:
α
0.10
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
χ2=.
参照附表,得到的正确结论是 (　　)
A.在犯错误的概率不大于0.01的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B.在犯错误的概率不大于0.01的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C.在犯错误的概率不大于0.1的前提下,推断“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D.在犯错误的概率不大于0.1的前提下,推断“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
【解析】选C.由表计算得:χ2=≈3.03>2.706=x0.1,所以在犯错误的概率不大于0.1的前提下推断“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.
7.给出以下四个说法:
①残差点分布的带状区域的宽度越窄,决定系数越小;
②在刻画回归模型的拟合效果时,决定系数R2越接近于1,说明拟合的效果越好;
③在经验回归直线方程=0.2x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,预测值平均增加0.2个单位:
④对分类变量X与Y,若它们的随机变量χ2的值越小,则判断“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确的说法是 (　　)
A.①④ B.②④
C.①③ D.②③
【解析】选D.对于①,在回归分析中,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄,说明拟合的精确度越高,决定系数的绝对值越接近于1,而不是越小,①错误;
对于②,相关指数R2来刻画拟合效果时,R2的值越大,说明模型的拟合效果越好,②正确;
对于③,在经验回归直线方程=0.2x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,预测值平均增加0.2个单位,③正确;
对于④,对分类变量X和Y,它们的随机变量χ2的值越大,“X与Y有关系”的把握程度越大,④错误.
8.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:

由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 (　　)
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
【解析】选D.由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a+bln x.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列叙述正确的是 (　　)
A.相关关系是一种确定性关系,一般可分为正相关和负相关
B.经验回归直线一定过样本点的中心
C.在回归分析中,R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
D.某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x的关系,得到经验回归方程=-2.35x+146.7,则气温为2 ℃时,一定可卖出142杯热饮
【解析】选BC.对于A:相关关系是不确定的关系,故A错误;
对于B:经验回归直线必过样本中心,故B正确;
对于C:决定系数越大,相关性越强,故R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好,故C正确;
对于D:根据经验回归直线,可预测大概卖出142杯,而不是一定卖出142杯,故D错误.
10.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度,随机调查了50名男生和50名女生,每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价,得到相应的列联表.经计算χ2≈4.762,则可以推断出 (　　)
性别
服务
合计
满意
不满意
男
30
20
50
女
40
10
50
合计
70
30
100

α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B.调研结果显示,该学校男生比女生对食堂服务更满意
C.在犯错误的概率不大于0.05的前提下推断男、女生对该食堂服务的评价有差异
D.在犯错误的概率不大于0.01的前提下推断男、女生对该食堂服务的评价有差异
【解析】选AC.对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为=,故A正确;对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为=>,故B错误;因为χ2≈4.762>3.841=x0.05,所以在犯错误的概率不大于0.05的前提下推断男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误.
11.下列说法中错误的是 (　　)
A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变
B.设有一个经验回归方程=3-5x,变量x增加1个单位时,平均增加5个单位
C.设具有相关关系的两个变量x,Y的相关系数为r,则越接近于0,x和Y之间的线性相关程度越强
D.在一个2×2列联表中,由计算得χ2的值,则χ2的值越大,判断两个变量间有关联的把握就越大
【解析】选BC.对于A:方差反映一组数据的波动情况,将一组数据中每一个数据都加上或减去同一个常数后,波动情况不变,方差不变,故A正确;
对于B:经验回归方程=3-5x,变量x增加1个单位时,平均减少5个单位,故B错误;
对于C:相关系数越接近于0,相关性越弱,相关系数越接近于1,相关性越强,故C错误;
对于D:χ2的值越大,两个变量间有关系的可信度越大,判断两个变量间有关联的把握就越大,故D正确.
12.下列说法正确的是 (　　)
A.在经验回归方程=-0.85x+2.3中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均减少2.3个单位
B.两个具有线性相关关系的变量,决定系数R2的值越接近于0,则这两个变量的相关性就越强
C.若两个变量的决定系数R2=0.88,则说明预测值的差异有88%是由解释变量引起的
D.在经验回归方程=-0.85x+2.3中,相对于样本点的残差为-0.25
【解析】选CD.对于A,根据经验回归方程,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均减少0.85个单位,A错误;
对于B,当决定系数R2的值越接近于1,两个变量的相关性就越强,B错误;
对于C,由决定系数R2的意义可知C正确;
对于D,当解释变量x=1时,预测值=1.45,则样本点的残差为-0.25,D正确.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如表:
性别
专业
合计
非统计专业
统计专业
男
13
10
23
女
7
20
27
合计
20
30
50
为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,计算得到χ2=　　　　(保留三位小数),所以判定　　　　(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系. 
【解析】根据提供的表格得χ2=
≈4.844>3.841=x0.05.
所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系.
答案:4.844　能
14.某工厂为研究某种产品产量x(吨)与所需某种原材料Y(吨)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据(x,Y),如表所示:(残差=观测值-预测值)
x
3
4
5
6
Y
2.5
3
4
m
根据表中数据,得出Y关于x的经验回归方程为:=0.7x+.据此计算出在样本处的残差为-0.15,则表中m的值为　　　　. 
【解析】根据题意计算出在样本处的残差为-0.15,可得=3.15,则当x=4时,3.15=0.7×4+,所以=0.35,
由题意可知:
产量x的平均值为=(3+4+5+6)=4.5,由经验回归方程为=0.7x+过样本中心点(,),则=0.7×4.5+=3.15+,所以=-3.15=(9.5+m)-3.15,
解得:m=4.5.
答案:4.5
15.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到数据如表
单价x/元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量Y/件
90
84
83
80
75
68
由表中数据,求得经验回归方程为=-20x+.若在这些样本中任取一点,则它在经验回归直线左下方的概率为　　　　. 
【解析】由表格数据可知:
=
=8.5,==80.
因为=-20,=-,
所以=80+20×8.5=250,
所以经验回归方程为=-20x+250.
分别将6个点的横坐标代入方程得到的小于其观测值的点有,两个点,则在这些样本点中任取一点,共有6种不同的取法,其中恰好在经验回归直线左下方的共有2种不同的取法,故满足条件的概率P==.
答案:
16.如图所示的是世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图,样本点基本集中在一个条形区域,因此两个变量呈线性相关关系.利用散点图中的数据建立的经验回归方程为=3.193x+88.193,若受教育的人口百分比相差10%,则其人均收入相差　　　　. 

【解析】设受教育的人口百分比分别为a%,b%,且a-b=10,
根据经验回归方程为=3.193x+88.193,
得收入相差大约为:3.193×a+88.193-(3.193×b+88.193)=3.193×10=31.93,
即受教育的人口百分比相差10%时,其人均收入相差约31.93美元.
答案:31.93美元
四、解答题(本大题共4个小题,共40分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)某公司为了提高某产品的收益,向各地作了广告推广,同时广告对销售收益也有影响,在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地区的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示),且拟定一个合理的收益标准t(百万元),由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.

(1)根据频率分布直方图,计算图中各小长方形的宽度;
(2)按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到表格:
广告投入x(单位:万元)
1
2
3
4
5
销售收益Y(单位:百万元)
2
3
2
5
7
表中的数据显示,x与Y之间存在线性相关关系,计算Y关于x的经验回归方程.
(经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-)
【解析】(1)设各小长方形的宽度为m,由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,
可知(0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02)·m=0.5m=1,故m=2;
(2)由题意可知,==3,
==3.8,
xiyi=1×2+2×3+3×2+4×5+5×7=69,
=12+22+32+42+52=55,
根据公式,可求得==1.2,
=3.8-1.2×3=0.2,
即经验回归方程为=1.2x+0.2.
18.(10分)某大学读书协会为了解本校大学生网上阅读与传统纸质阅读的情况,调查了该大学1 000名大学生(男、女各占一半),就偏向网上阅读和偏向传统纸质阅读的情况做了调查记录.记录显示,偏向网上阅读的男大学生比偏向传统纸质阅读的男大学生多300人,这1 000名大学生中,偏向传统纸质阅读的大学生共有400人.
(1)根据题意,完成2×2列联表:
性别
阅读方式
合计
偏向网上阅读
偏向传统纸质阅读
男

女

合计

1 000
(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验,推断该大学的大学生的阅读方式与性别是否有关联.
附:χ2=(n=a+b+c+d).
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)根据题意,该大学1 000名大学生中(男、女各占一半),
偏向网上阅读的男大学生比偏向传统纸质阅读的男大学生多300人,
这1 000名大学生中,偏向传统纸质阅读的大学生共有400人,可得2×2列联表如表:
性别
阅读方式
合计
偏向网上阅读
偏向传统纸质阅读
男
400
100
500
女
200
300
500
合计
600
400
1 000
(2)由(1)中的表格中的数据,
可得χ2=
=>10.828=x0.001,
根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断该大学的大学生的阅读方式与性别有关联.
19.(10分)某航空公司规定:国内航班(不构成国际运输的国内航段)托运行李每件重量上限为50 kg,每件尺寸限制为40 cm×60 cm×100 cm,其中头等舱乘客免费行李额为40 kg,经济舱乘客免费行李额为20 kg.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查,得到如下数据:
携带行李重量
(kg)
(0,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
头等舱乘客
人数
8
33
12
2
经济舱乘客
人数
37
5
3
0
合计
45
38
15
2
(1)请完成2×2列联表,试根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析托运超额行李与乘客乘坐座位的等级是否有关;
(2)调研小组为感谢参与调查的旅客,决定从托运行李超出免费行李额且不超过10 kg的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”,求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率.
参考公式χ2=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)根据表格中数据,可得头等舱乘客托运免费行李的人数为8+33+12=53(人),头等舱乘客托运超额行李的人数为2人,经济舱乘客托运免费行李的人数为37人,经济舱乘客托运超额行李的人数为5+3=8(人),
可得2×2列联表如表:

行李
合计
托运免费行李
托运超额行李
头等舱
乘客人数
53
2
55
经济舱
乘客人数
37
8
45
合计
90
10
100
因为χ2==≈5.50>3.841=x0.05,
所以根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关.
(2)由题意可知托运行李超出免费行李额且不超过10 kg的旅客有7人,其中头等舱乘客有2人,记为A,B,经济舱乘客有5人,记为a,b,c,d,e.
从这7人中随机抽取2人的情况有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,Ba,Bb,Bc,Bd,Be,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共21种,其中符合条件的情况有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,Ba,Bb,Bc,Bd,Be,共11种,故所求概率P=.
20.(10分)某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中,有“难度系数”和“区分度”两个指标,难度系数=,区分度=
.
(1)某次数学考试(满分为150分),随机从实验班和普通班各抽取三人,实验班三人的成绩分别为147,142,137;普通班三人的成绩分别为97,102,113.通过样本估计本次考试的区分度(精确到0.01).
(2)如下表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据:
难度系数x
0.64
0.71
0.74
0.76
0.77
0.82
区分度Y
0.18
0.23
0.24
0.24
0.22
0.15
①计算相关系数r,|r|<0.75时,认为相关性弱;|r|≥0.75时,认为相关性强.通过计算说明,能否利用线性回归模型描述Y与x的关系(精确到0.01).
②ti=|xi-0.74|(i=1,2,…,6),求出Y关于t的经验回归方程,并预测x=0.75时的值(精确到0.01).
附注:参考数据:xiyi=0.930 9,
≈0.011 2,
tiyi=0.048 3,=0.007 3.
参考公式:相关系数r=,经验回归直线=t+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-.
【解析】(1)实验班三人成绩的平均值为=142,
普通班三人成绩的平均值为=104,
故估计本次考试的区分度为≈0.25.
(2)①由题中的表格可知=(0.64+0.71+0.74+0.76+0.77+0.82)=0.74,
=(0.18+0.23+0.24+0.24+0.22+0.15)=0.21,
故r=
≈≈-0.13.
因为|r|<0.75,所以相关性弱,故不能利用线性回归模型描述Y与x的关系;
②Y与t的值如表
t
0.10
0.03
0
0.02
0.03
0.08
区分度Y
0.18
0.23
0.24
0.24
0.22
0.15
因为=≈≈-0.86,
所以=-=0.21+0.86×≈0.25,
所以所求经验回归方程=-0.86t+0.25,
当x=0.75时,此时t=0.01,则≈0.24.