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2022版高考数学一轮复习 练案第二章 函数、导数及其应用 第九讲 函数与方程练习新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案第二章 函数、导数及其应用 第九讲 函数与方程练习新人教版

年级：
姓名：

第九讲　函数与方程
A组基础巩固
一、选择题
1．若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，内，则与f(0)符号相同的是(　C　)
A．f(4)　 B．f(2)
C．f(1) D．f
[解析]　本题实质考查二分法．
由题意知f(x)的零点在内，可知f(0)与f(1)符号相同．
2．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是(　C　)
A．(0,1)　 B．(2,3)
C．(3,4) D．(4，＋∞)
[解析]　易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，故f(x)的零点所在的区间是(3,4)．
3．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递减的是(　A　)
A．y＝log(x＋1)　 B．y＝2x－1
C．y＝x2－ D．y＝x3
[解析]　函数y＝log(x＋1)在定义域上单调递减，且x＝0时y＝0，y＝x2－在(－1,1)上不是单调函数，y＝x3在定义域上单调递增，且x＝0时y＝0.对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选A、D.
4．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点可以是(　C　)
A．0　 B．
C．－或0 D．2
[解析]　2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或－，故选C.
5．函数f(x)＝x·cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(　D　)
A．2　 B．3
C．4 D．5
[解析]　借助余弦函数的图象求解，f(x)＝x·cos 2x＝0⇒x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点．
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为(　C　)
A．至多有一个　 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．—个也没有
[解析]　因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C.
7．(2021·山东青岛模拟)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足(　C　)
A．f(x0)＝0　 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．f(x0)≤0
[解析]　在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象，由图象可知，当0<x0<a时，有2x0<logx0，即f(x0)<0.
8．(2021·湖南永州模拟)若函数f(x)＝2|x|－k存在零点，则k的取值范围是(　D　)
A．(－∞，0)　 B．[0，＋∞)
C．(－∞，1) D．[1，＋∞)
[解析]　由函数f(x)＝2|x|－k存在零点，得2|x|＝k有解，作出函数y＝2|x|的图象如图所示，则由图象可知，要使函数f(x)＝2|x|－k存在零点，只需y＝2|x|与y＝k的图象有交点，则k≥1，故选D.

9．(2021·广西宜州联考)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　B　)
A．5　 B．4
C．3 D．2
[解析]　∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.

10．(理)(2020·宣城二模)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 021＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　A　)
A．a>c>d>b　 B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
(文)已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f(－3)·f(6)<0，那么下列结论中正确的是(　C　)
A．f(x)可能有两个零点　 B．f(3)·f(－4)≥0
C．f(－4)<f(6) D．f(0)<f(－6)
[解析]　(理)根据题意，设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)＋2 021，
若g(x)＝0，则x＝a或x＝b，即函数g(x)的图象与x轴的交点为(a,0)和(b,0)．

f(x)＝2 021＋(x－a)(x－b)＝0即g(x)＝－2 021，若f(x)＝2 021＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则g(x)的图象与直线y＝－2 021的交点坐标为(c，－2 021)和(d，－2 021)，由图象知a>c>d>b，故选A.
(文)本题考查函数的性质和零点问题，因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)<0，f(6)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A不正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确，故选C.
二、填空题
11．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为　－　.
[解析]　由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
12．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是__(0,1]__．
[解析]　当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是(0,1]．
13．(2021·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝__2__.
[解析]　因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln 2<0，f(3)＝2＋ln 3>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
14．(2021·江苏淮安联考)函数f(x)对一切实数x都满足f＝f，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为　　.
[解析]　因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个根是，另外两个根的和为1，故方程f(x)＝0的三个实根的和为.
15．(2021·广东阳江调研)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是__(－1,0)__．
[解析]　关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．

B组能力提升
1．y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，相应的x值与y的值如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
－3
－2
3
4
－4
则y＝f(x)在区间(1,6)上零点个数为(　D　)
A．3个　 B．奇数
C．偶数 D．至少3个
[解析]　由表可知，在(1,2)，(3,4)，(5,6)三个区间内，y＝f(x)各至少有一个零点，故在(1,6)内至少有3个零点．
2．函数f(x)＝|lg x2|＋x2－2|x|的零点的个数为(　C　)
A．2　 B．3
C．4 D．6
[解析]　函数f(x)＝|lg x2|＋x2－2|x|的零点个数，
即方程|lg x2|＝－x2＋2|x|的根的个数，
考虑g(x)＝|lg x2|，h(x)＝－x2＋2|x|，
定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，
当x>0时，g(x)＝|2lg x|，h(x)＝－x2＋2x，作出函数图象：

两个函数一共有两个交点，即当x>0时，|lg x2|＝－x2＋2|x|有两根，
根据对称性可得：当x<0时|lg x2|＝－x2＋2|x|有两根，
所以|lg x2|＝－x2＋2|x|一共4个根，
即函数f(x)＝|lg x2|＋x2－2|x|的零点的个数为4.故选C.
3．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是(　A　)
A．f(x)＝(2x－1)2　 B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝ln2 D．f(x)＝4x＋1
[解析]　选项A，x1＝；选项B，x1＝0；选项C，x1＝或－；选项D，x1＝－.因为g(1)＝4＋2－2>0，g＝2＋1－2>0，g＝＋－2<0，g(0)＝1－2<0，则x2∈.选项中，x1＝满足|x1－x2|≤0.25.故选A.
4．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(　A　)
A．f(a)<f(1)<f(b)　 B．f(a)<f(b)<f(1)
C．f(1)<f(a)<f(b) D．f(b)<f(1)<f(a)
[解析]　由题意，知f′(x)＝ex＋1>0在x∈R上恒成立，故函数f(x)在R上单调递增，而f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，所以函数f(x)的零点a∈(0,1)；
由题意，知g′(x)＝＋1>0在x∈(0，＋∞)内恒成立，故函数g(x)在区间(0，＋∞)内单调递增．
又g(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，
所以函数g(x)的零点b∈(1,2)．
综上，可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的，
所以f(a)<f(1)<f(b)．故选A.
5．(2021·天津部分区质量调查)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数根a，b，c，则a＋b＋c的取值范围是(　D　)
A．(，1)　 B．(，1)
C．(，2) D．(，2)
[解析]　假设a<b<c，通过作图可得a∈(－，0)，b＋c＝2，所以a＋b＋c∈(，2)，故选D.