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2016年全国高考新课标1卷文科数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=( )
A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}
2．设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( )
A．-3 B．-2 C．2 D． 3
3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A． B． C． D．
4．ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知，
则b=( )
A． B． C．2 D．3
5．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的
，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
6．若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为
( )
A．y=2sin(2x+) B．y=2sin(2x+) C．y=2sin(2x–) D．y=2sin(2x–)
7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个
圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，
则它的表面积是( )
A．17π B．18π C．20π D．28π
8．若a>b>0，0<c<1，则( )
A．logac<logbc B．logca<logcb C．ac<bc D．ca>cb
y
x
y
2
O
-2
1
C
x
2
O
-2
1
B
y
x
2
O
-2
1
A
x
2
O
-2
1
D
y
9．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )
开始
x2+y2≥36
是
结束
输出x,y
否
n=n+1
输入x,y,n
10．执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，
则输出x，y的值满足( )
A．y=2x B．y=3x
C．y=4x D．y=5x
11．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，
α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，
α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
12．若函数在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．[-1,1] B．[-1,] C．[-,] D．[-1,-]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13．设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x= .
14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ-)= .
15．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=，
则圆C的面积为 .
16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
元.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.
17.（本题满分12分）
已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn.
(Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求{bn}的前n项和.
18.（本题满分12分）
B
E
G
P
D
C
A
如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，
连接PE并延长交AB于点G.
(Ⅰ)证明G是AB的中点；
(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC
内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．
19.（本小题满分12分）
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
(Ⅰ)求； (Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，OA为半径作圆.
(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；
(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.
(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.
(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像；
(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.
2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．4π 16．216000
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.
17．解：(Ⅰ)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2 …2分
通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 …6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以{bn}是公比为的等比数列.…9分
B
E
G
P
F
D
C
A
所以{bn}的前n项和Sn= …12分
18．(Ⅰ)证明：PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB．
又DE⊥平面PAB，∴DE⊥AB．∴AB⊥平面PDE． …3分
又PG ?平面PDE，∴AB⊥PG．依题PA=PB，∴G是AB的中点．…6分
(Ⅱ)解：在平面PAB内作EF⊥PA（或EF// PB）垂足为F，
则F是点E在平面PAC内的正投影. …7分
理由如下：∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴ PC⊥平面PAB． ∴EF ⊥PC
作EF⊥PA，∴EF⊥平面PAC．即F是点E在平面PAC内的正投影.…9分
连接CG，依题D是正ΔABC的重心，∴D在中线CG上，且CD=2DG．
易知DE// PC，PC=PB=PA= 6，∴DE=2，PE=．
则在等腰直角ΔPEF中，PF=EF=2，∴ΔPEF的面积S=2．
所以四面体PDEF的体积. …12分
19．解：(Ⅰ)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x-19)=500x-5700.
所以y与x的函数解析式为 …3分
(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19. …6分
(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的
平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分
若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的
平均数为(4000×90+4500×10)=4050. …11分
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分
20．解：(Ⅰ)依题M(0, t)，P(, t). 所以N(, t)，ON的方程为.
联立y2=2px，消去x整理得y2=2ty. 解得y1=0，y2=2t. …4分
所以H(,2t). 所以N是OH的中点，所以=2. …6分
(Ⅱ)直线MH的方程为，联立y2=2px，消去x整理得y2-4ty+4t2=0.
解得y1=y2=2t. 即直线MH与C只有一个交点H.
所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点. …12分
21．解：(Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x∈R …2分
(1)当a≥0时，在(-∞,1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；
在(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增. …3分
(2)当a<0时，令f '(x)=0，解得x =1或x=ln(-2a).
①若a=，ln(-2a) =1，f '(x)≥0恒成立，所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增.
②若a>，ln(-2a)<1，在(ln(-2a),1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；
在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增.
③若a<，ln(-2a)>1，在(1,ln(-2a))上，f '(x)<0，f(x)单调递减；
在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增.…7分
(Ⅱ) (1)当a=0时，f(x)=(x -2)ex只有一个零点，不合要求. …8分
(2)当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增.
最小值f(1)=-e<0，又f(2)= a>0，若取b<0且b<ln，eb<.
从而f(b)>，所以f(x)有两个零点. …10分
(3)当a<0时，在(-∞,1]上，f(x)<0恒成立；若a≥，由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，不存在两个零点.若a<，f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减；在(ln(-2a),+∞)上单调递增，也不存在两个零点.
综上a的取值范围是(0,1). …12分
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，OA为半径作圆.
(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；
(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.
证明：(Ⅰ)设E是AB的中点，连接OE，因为OA=OB，
∠AOB=120°. 所以OE⊥AB，∠AOE=60°. …3分
在RtΔAOE中，OE=OA. 即圆心O到直线AB的
距离等打半径，所以直线AB与⊙O相切. …5分
(Ⅱ)因为OD=OA，所以O不是A,B,C,D四点共圆的圆心，故设其圆心为O'，则O'在AB的垂直平分线上.
又O在AB的垂直平分线上，作直线O O'，所以O O'⊥AB.…8分
同理可证O O'⊥CD.所以AB∥CD. …10分
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.
(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.
所以C1是以(0,1)为圆心a为半径的圆. …3分
将x=?cos?，y=?sin?代入可得C1的极坐标方程为?2-2? sin?+1-a2=0. …5分
(Ⅱ)联立?2-2? sin?+1-a2=0与ρ=4cosθ消去ρ得16cos2?-8sin? cos?+1-a2=0，
由tanθ=2可得16cos2?-8sin? cos?=0. 从而1-a2=0，解得a=1. …8分
当a=1时，极点也是C1与C2的公共点，且在C3上，综上a=1. …10分
24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.
(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像；
(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.
解：(Ⅰ)
y=f(x)的图像如图所示. …5分
(Ⅱ)由f(x)的图像和表达式知，当f(x)=1时，解得x=1或x=3.
当f(x)=-1时，解得x=或x=5. …8分
结合f(x)的图像可得| f(x)|>1的解集为{x|x<或1< x<3或x>5}. …10分
小题详解
1．解：取A，B中共有的元素是{3,5}，故选B
2．解：(1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i，依题a-2=1+2a，解得a=-3，故选A
3．解：设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用1,2,3,4来表示，则所有基本事件有 (12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共6个，其中1和4不在同一花坛的事件有4个， 其概率为P=，故选C
4．解：由余弦定理得：5=4+b2-4b×， 则3b2-8b-3=0，解得b=3，故选D
5．解：由直角三角形的面积关系得bc=，解得，故选B
6．解：对应的函数为y=2sin[ 2(x-)+]，即y=2sin(2x–)，故选D
7．解：依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积
，解得R=2，表面积，故选B
8．解：取特值a=1，b=0.5，c=0.5，可排除A，C，D，故选B
9．解：当0≤x≤2时，y'=4x–ex，函数先减后增，且y'|x=0.5>0，最小值在(0,0.5)内。故选D
10．解：运行程序，循环节内的n，x，y依次为(1,0,1)，(2,0.5,2)，(3,1.5,6)， 输出x=1.5，y= 6，故选C
11．解：平面A1B1C1D1∩平面CB1D1= B1D1与m平行，平面CDD1C1∩平面CB1D1= CD1与n平行，所以m，n所成角就是B1D1与CD1所成角，而ΔCB1D1是等边三角形，则所成角是60°，故选A
12．解：，，依题f'(x)≥0恒成立，即acosx≥恒成立，而(acosx)min=-|a|，，故选C
13．解：依题x+2(x+1)=0，解得x=
14．解：依题θ+是第一象限角，cos(θ+)=，tan(θ-)=- tan(-θ)=- tan[-(θ+)]=- sin[-(θ+)]/cos[-(θ+)]=- cos(θ+)/ sin(θ+)=
15．解：圆方程可化为x2+ (y-a)2=a2+2，圆心C到直线距离d=，由d2+3=a2+2，解得a2=2，所以圆半径为2，则圆面积为4π
16．解：设生产A、B两种产品各x件、y件，利润之和是z＝2100x+900y，
①
B
C
A
O
x
y
300
200
l0
②
③
约束条件是，即
作出可行域四边形OABC，如图.
画出直线l0：7x+3y =0，平移l0到l，
当l经过点B时z最大，联立10x+3y=900与5x+3y=600
解得交点B(60,100)，所以 zmax=126000+90000=216000.