2022高考数学一轮复习-第九章-解析几何-9.6-双曲线学案北师大版.docx
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1、2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线学案北师大版2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线学案北师大版年级:姓名:9.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.(1)若ac,则点M的轨迹是双曲线;(2)若ac,则点M的轨迹是两条射线;(3)若ac,则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2
2、=1(a0,b0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).3.双曲线的性质标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形续表标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)性质范围xa或x-a,yRy-a或ya,xR对称性对称轴:,对称中心:顶点A1,A2A1,A2渐近线y=baxy=abx离心率e=ca,e(1,+)a,b,c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=;a叫作双曲线的实半轴长,
3、b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.2.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)为双曲线上任意一点,且不与点F1,F2共线,F1PF2=,则F1PF2的面积为b2tan2.3.若点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)内,则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2-y0yb2=x02a2-y02b2.4.双曲线中点弦的斜率公式设点M(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则kABkO
4、M=b2a2,即kAB=b2x0a2y0.5.双曲线的焦半径公式双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),当点M(x0,y0)在双曲线右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲线左支上时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.6.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确
5、,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)双曲线x2m2-y2n2=(m0,n0,0)的渐近线方程是x2m2-y2n2=0,即xmyn=0.()(3)关于x,y的方程x2m-y2n=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)与双曲线x2m-y2n=1(其中mn0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m-y2n=(0).()(5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与x2b2-y2a2=1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.()2.(2020山东济南期末)方程x2m-2+
6、y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A.-3m0B.-3m2C.-3m4D.-1m0,b0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为.关键能力学案突破考点双曲线的定义【例1】(1)(2020全国1,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则PF1F2的面积为()A.72B.3C.52D.2(2)已知点F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若AF2B=23,SAF2B=23,则双曲线C的虚轴长为.思考如何灵活运用双曲线的定义或如何解焦点三角形?解题心得双曲线定义的应
7、用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系.对点训练1(1)已知(x-2)2+y2=9的圆心为C.过点M(-2,0)且与x轴不重合的直线l交圆C于A,B两点,点A在点M与点B之间.过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P的轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F1的直线
8、交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB|=4,则BF1F2的面积为.考点双曲线的标准方程【例2】(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x22-y214=1(x2)B.x22-y214=1(x-2)C.x22+y214=1(x2)D.x22+y214=1(x-2)(2)(2020云南大理月考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线均与圆C:x2+y2-8x+12=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则双曲线的方程为.思考双曲线的标准方程的求解方法是什么?解题
9、心得1.待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线x2a2-y2b2=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=(0).2.定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.对点训练2(1)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若(F2F1+F2A)F1A=0,则双曲线的标准方程可能为()A.x24-y23=1B.x23-y24=1C.x216-y29=1D.x29-y216=1(2)已知双曲线x
10、2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为32,过右焦点F作渐近线的垂线,垂足为M,若FOM的面积为5,其中O为坐标原点,则双曲线的标准方程为()A.x2-4y25=1B.x22-2y25=1C.x24-y25=1D.x216-y220=1考点双曲线的几何性质(多考向探究)考向1求双曲线的渐近线方程【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点为F,点A,B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过点F且交双曲线C的左支于M,N两点,若|MN|=2,ABF的面积为8,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=3xB.y=33xC.y
11、=2xD.y=12x解题心得求双曲线的渐近线方程的方法依据题设条件,求出双曲线方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.对点训练3(1)(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2a2-y2b2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()A.y=33xB.y=3xC.y=22xD.y=2x(2)椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线:x2m2-y2n2=1(m0,n0)焦点相同,F为左焦点,曲线与在第一象限、第三象限的交点分别为A,B,且AFB=23,则当这两条曲线的离心率之积最小时,双曲线的
12、一条渐近线的方程是()A.x-2y=0B.2x+y=0C.x-2y=0D.2x+y=0考向2求双曲线的离心率【例4】(2020福建福州三模,理16)已知梯形ABCD满足ABCD,BAD=45,以A,D为焦点的双曲线经过B,C两点.若|CD|=7|AB|,则的离心率为.解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法(1)求a,b,c的值,由e=ca=1+b2a2直接求出e.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关于e的方程(或不等式)求解.对点训练4(1)(2020山东潍坊二模,8)已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦
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