2022高考数学一轮复习-第九章-解析几何-9.6-双曲线学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线学案北师大版

年级：
姓名：

9.6　双曲线
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　　　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作　　　　　　　　　,两焦点间的距离叫作　　　　　　　　. 
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a　　　c,则点M的轨迹是双曲线; 
(2)若a　　　c,则点M的轨迹是两条射线; 
(3)若a　　　c,则点M不存在. 
2.标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
3.双曲线的性质
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图　形

续　表
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:　　　　　,对称中心:　　　　 
顶点
A1　　　,A2　　　 
A1　　　,A2　　　 
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
e=ca,e∈(1,+∞)
a,b,c
的关系
c2=　　　 
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=　　; 
线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=　　; 
a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长

1.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.
2.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)为双曲线上任意一点,且不与点F1,F2共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.
3.若点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内,则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2-y0yb2=x02a2-y02b2.

　　4.双曲线中点弦的斜率公式
设点M(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则kAB·kOM=b2a2,即kAB=b2x0a2y0.
5.双曲线的焦半径公式
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),当点M(x0,y0)在双曲线右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲线左支上时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.
6.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)双曲线x2m2-y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2=0,即xm±yn=0.(　　)
(3)关于x,y的方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(4)与双曲线x2m-y2n=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m-y2n=λ(λ≠0).(　　)
(5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2-y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.(　　)
2.(2020山东济南期末)方程x2m-2+y2m+3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是(　　)

A.-3<m<0 B.-3<m<2
C.-3<m<4 D.-1<m<3
3.(2020山东菏泽一模,5)已知双曲线x25-y2a=1的一条渐近线上存在一点到x轴的距离与到原点O的距离之比为23,则实数a的值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
4.(2020上海期末)已知双曲线的渐近线方程为y=±12x,且过点A(4,2),则此双曲线的方程为　　　　　. 
5.(2020全国3,文14)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为　. 
关键能力学案突破　

考点
双曲线的定义

【例1】(1)(2020全国1,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.72 B.3 C.52 D.2
(2)已知点F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=23,则双曲线C的虚轴长为　　　　　. 
思考如何灵活运用双曲线的定义或如何解焦点三角形?
解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.

对点训练1(1)已知(x-2)2+y2=9的圆心为C.过点M(-2,0)且与x轴不重合的直线l交圆C于A,B两点,点A在点M与点B之间.过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P的轨迹为(　　)
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB|=4,则△BF1F2的面积为　　　　　. 

考点
双曲线的标准方程

【例2】(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.x22-y214=1(x≥2) B.x22-y214=1(x≤-2)
C.x22+y214=1(x≥2) D.x22+y214=1(x≤-2)
(2)(2020云南大理月考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆C:x2+y2-8x+12=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则双曲线的方程为　　　　　. 
思考双曲线的标准方程的求解方法是什么?
解题心得1.待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线x2a2-y2b2=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=λ(λ≠0).
2.定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.
对点训练2(1)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若(F2F1+F2A)·F1A=0,则双曲线的标准方程可能为(　　)
A.x24-y23=1 B.x23-y24=1
C.x216-y29=1 D.x29-y216=1
(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为32,过右焦点F作渐近线的垂线,垂足为M,若△FOM的面积为5,其中O为坐标原点,则双曲线的标准方程为(　　)
A.x2-4y25=1 B.x22-2y25=1
C.x24-y25=1 D.x216-y220=1

考点
双曲线的几何性质(多考向探究)

考向1　求双曲线的渐近线方程
【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,点A,B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过点F且交双曲线C的左支于M,N两点,若|MN|=2,△ABF的面积为8,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±3x B.y=±33x
C.y=±2x D.y=±12x
解题心得求双曲线的渐近线方程的方法
依据题设条件,求出双曲线方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
对点训练3(1)(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为(　　)
A.y=±33x B.y=±3x
C.y=±22x D.y=±2x
(2)椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线Ω:x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)焦点相同,F为左焦点,曲线Γ与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A,B,且∠AFB=2π3,则当这两条曲线的离心率之积最小时,双曲线的一条渐近线的方程是(　　)
A.x-2y=0 B.2x+y=0
C.x-2y=0 D.2x+y=0
考向2　求双曲线的离心率
【例4】(2020福建福州三模,理16)已知梯形ABCD满足AB∥CD,∠BAD=45°,以A,D为焦点的双曲线Γ经过B,C两点.若|CD|=7|AB|,则Γ的离心率为　　　　　. 
解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由e=ca=1+b2a2直接求出e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关于e的方程(或不等式)求解.
对点训练4(1)(2020山东潍坊二模,8)已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A(点A在第一象限),点B在双曲线C的渐近线上,且BF∥OA.若AB·OB=0,则双曲线C的离心率为(　　)
A.233 B.2
C.3 D.2
(2)(2020山东济宁三模,16)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线,与双曲线在第一象限的交点为A,点Q坐标为c,3a2,且满足|F2Q|>|F2A|.若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|<76|F1F2|成立,则双曲线的离心率的取值范围是　　　　　. 

考点
双曲线与圆的综合问题

【例5】已知点P为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,若|PF1|=|F1F2|,且直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±43x
B.y=±34x
C.y=±35x
D.y=±53x
思考如何解答双曲线与圆的综合问题?
解题心得解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形,多借助圆的几何性质,挖掘出隐含条件,如垂直关系、线段或角的等量关系等.
对点训练5(2019全国2,理11)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　　)
A.2 B.3 C.2 D.5

1.双曲线中的参数a,b,c三者之间的关系为a2+b2=c2.
2.与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0).
3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程x2a2-y2b2=0就是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程.
4.双曲线中的焦点三角形的面积公式为S△PF1F2=b2tanθ2.(其中P为双曲线上任意一点,但不能与点F1,F2共线,F1,F2是双曲线的左、右焦点,θ为∠F1PF2的大小)

1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2,y2前系数的正负.
2.关于双曲线离心率的取值范围问题,不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1,+∞).
3.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±bax,y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±abx.
4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.
5.当直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.

9.6　双曲线
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.距离的差的绝对值　双曲线的焦点　双曲线的焦距　(1)<　(2)=　(3)>
3.坐标轴　原点　(-a,0)　(a,0)　(0,-a)　(0,a)　a2+b2　2a　2b
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2.A　方程x2m-2+y2m+3=1表示双曲线,则有(m-2)(m+3)<0,解得-3<m<2.
由题意,所给集合必须是{m|-3<m<2}的非空真子集,只有A符合条件.
3.B　由题意,双曲线的一条渐近线的斜率为232-22=25.由双曲线x25-y2a=1,得实半轴长为5,虚半轴长为a.
故a5=25,解得a=4.
4.x28-y22=1　双曲线的渐近线方程为y=±12x,可设双曲线方程为4y2-x2=m.
双曲线经过点A(4,2),
可得8-16=m,m=-8.
故所求双曲线方程为x28-y22=1.
5.3　由题意得ba=2,即b=2a.
所以c2=a2+b2=3a2,即c=3a,所以e=ca=3.
关键能力·学案突破
例1(1)B　(2)22　(1)由题意知a=1,b=3,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).
因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,
故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,
所以|PF1|·|PF2|=6,所以△PF1F2的面积为12|PF1|·|PF2|=3.
(2)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为∠AF2B=2π3,S△AF2B=23,所以S△AF1F2=23,∠F1AF2=π3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=r12+r22-2r1r2cosπ3,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.又S△AF1F2=12r1r2sinπ3=23,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为22.
对点训练1(1)C　(2)92　(1)圆(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径为R=3.如图,

∵|CB|=|CA|=R=3,
∴∠CBA=∠CAB.∵AC∥MP,
∴∠CAB=∠PMA,
∴∠CBA=∠PMA,
∴|PM|=|PB|=|PC|+|BC|,
∴|PM|-|PC|=|BC|=3(定值),且3<|MC|.∴点P的轨迹是双曲线的一部分,故选C.
(2)因为|AF2|=3,|BF2|=5,
|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
所以|AF2|+|BF2|-|AB|=3+5-4=4=4a,所以a=1,所以|BF1|=3.
又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,
所以∠F2AB=90°,所以S△BF1F2=12|BF1||AF2|=12×3×3=92.
例2(1)A　(2)x212-y24=1　(1)设动圆M的半径为r,由题意可得|MC1|=r+2,|MC2|=r-2,|C1C2|=8,所以|MC1|-|MC2|=22<|C1C2|,所以由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为22的双曲线的右支上,所以a=2,c=4,所以b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为x22-y214=1(x≥2).
(2)圆C的标准方程为(x-4)2+y2=4,圆心C(4,0),半径为2.
双曲线的渐近线方程为y=±bax,由题意4ba1+ba2=2,解得ba=33.
又双曲线的右焦点为圆C的圆心,所以a2+b2=4.
联立ba=33,a2+b2=4,解得b=2,a=23.
故双曲线的方程为x212-y24=1.
对点训练2(1)D　(2)C　(1)由(F2F1+F2A)·F1A=0,可知(F2F1+F2A)·(F2A-F2F1)=0,即|F2A|2-|F2F1|2=0,所以|F2A|=|F1F2|=2c.
又AF2的斜率为247,所以cos∠AF2F1=-725.在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|=165c.由双曲线的定义得165c-2c=2a,即ca=53,所以a∶b=3∶4.所以此双曲线的标准方程可能为x29-y216=1.故选D.
(2)由题意可得e=ca=32,可得ba=c2a2-1=52,设F(c,0),渐近线为y=bax,可得F到渐近线的距离为|MF|=bca2+b2=b,由勾股定理可得|OM|=|OF|2-|MF|2=c2-b2=a,因为△FOM的面积为5,所以12ab=5,又a2+b2=c2,联立ca=32,12ab=5,a2+b2=c2,解得b=5,a=2,c=3,所以双曲线的方程为x24-y25=1,故选C.
例3B　不妨设点A,B在直线y=bax上,点F(c,0),则设点Ax0,bax0,B-x0,-bax0.因为以AB为直径的圆过点F,所以AF⊥BF,所以AF·BF=c2-x02-b2a2x02=c2-c2a2x02=0,所以x0=±a.所以S△ABF=12·c·2bax0=bc=8.
由x2+y2=c2,x2a2-y2b2=1,得y=±b2c,
则|MN|=2b2c=2,即b2=c.
所以b=2,c=4,所以a=c2-b2=23.
所以双曲线C的渐近线方程为y=±33x.故选B.
对点训练3(1)A　(2)C　(1)由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2=12,即x2a22-y2b22=1的焦点相同,可得a2-b2=a22+b22,
即a2=3b2,所以ba=33.所以双曲线的渐近线方程为y=±33x.故选A.
(2)设双曲线的右焦点为F1,由题意点A与点B关于原点对称,因此|AF1|=|BF|,又∠AFB=2π3,所以∠FAF1=π3.由椭圆与双曲线定义可得|AF|+|AF1|=2a,|AF|-|AF1|=2m,所以|AF|=a+m,|AF1|=a-m,根据余弦定理可得|FF1|2=|AF|2+|AF1|2-2|AF||AF1|cos∠FAF1,即4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cosπ3,化简得4c2=3m2+a2≥23m2·a2=23ma,当且仅当3m2=a2①时,取等号.所以离心率乘积为ca·cm=c2am≥32,由a2-b2=m2+n2,所以4c2-3m2-b2=m2+n2,所以b2=3n2②,再将①②代入a2-b2=m2+n2可得m2=2n2,所以双曲线的渐近线方程为x-2y=0或x+2y=0,故选C.
例4324　(方法1)如图所示,以AD的中点O为原点,以AD为x轴,建立平面直角坐标系.
设点C关于点O对称的点为C',由对称性知,B,A,C'三点共线.

设Γ的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A(-c,0),B(x1,y1),C'(x2,y2),则直线BC'的方程为y=x+c.
由y=x+c,x2a2-y2b2=1得(b2-a2)y2-2b2cy+b4=0,所以Δ=4b4c2-4b4(b2-a2)>0,y1+y2=2b2cb2-a2,y1y2=b4b2-a2.
因为|CD|=7|AB|,所以|y2|=7|y1|.
因为y1,y2异号,所以y2=-7y1.
由y2=-7y1,y1+y2=2b2cb2-a2,
解得y1=-b2c3(b2-a2),y2=7b2c3(b2-a2),
代入y1y2=b4b2-a2,得-7c2=9(b2-a2),因为b2=c2-a2,所以9a2=8c2.
所以Γ的离心率e=ca=324.
(方法2)如图,连接AC,BD.

设该双曲线的焦距AD=2c,实轴长为2a,则|BD|-|AB|=|AC|-|CD|=2a.
设AB=m,则CD=7m,BD=2a+m,AC=2a+7m.
依题意,∠BAD=45°,∠ADC=135°,
在△ABD中,由余弦定理及题设得(2a+m)2=m2+4c2-22mc,
在△ACD中,由余弦定理及题设得(2a+7m)2=49m2+4c2+142mc,
整理得2(c2-a2)=m(2a+c),2(c2-a2)=7m(2a-c),
两式相除得1=2a+c7(2a-c),即62a=8c,故Γ的离心率e=ca=324.
对点训练4(1)A　(2)32,102
(1)如图所示,设双曲线的焦距为2c,渐近线方程为y=±bax,

则点F(c,0),Ac,bca.
设点Bx0,-bx0a.∵BF∥OA,
∴kOA=kBF,即ba=-bx0ax0-c,解得x0=c2,∴Bc2,-bc2a.
∴AB=-c2,-3bc2a,OB=c2,-bc2a.
又AB·OB=0,∴-c24+3b2c24a2=0,即a2=3b2.
∵c2=a2+b2,∴a2=3(c2-a2),即3c2=4a2,∴离心率e=ca=233.故选A.
(2)将x=c代入双曲线的方程,得y=±bc2a2-1=±b2a,所以Ac,b2a.
又因为|F2Q|>|F2A|,所以3a2>b2a,
所以ba2<32,所以e=ca=1+ba2<1+32=102.
因为|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+|PQ|≥2a+|F2Q|,又在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|<76|F1F2|成立,所以有2a+|F2Q|<76|F1F2|,即2a+32a<76×2c,解得e>32.又因为e>1,所以32<e<102.
例5A　如图.

由已知得|PF1|=|F1F2|=2c.因为直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,设切点为M,所以|OM|=a,OM⊥PF2,所以|MF2|=c2-a2=b.由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=2a+2c,所以cos∠OF2M=bc=(2c)2+(2a+2c)2-(2c)22×2c×(2a+2c),整理得c=2b-a.又c2=a2+b2,解得ba=43.所以双曲线C的渐近线方程为y=±43x.故选A.
对点训练5

A　如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.
∵|PQ|=|OF|=c,
∴|PA|=c2.
∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,∴|OA|=c2.∴Pc2,c2.
又点P在圆x2+y2=a2上,∴c24+c24=a2,即c22=a2,∴e2=c2a2=2,∴e=2.故选A.