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2022版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合的概念与运算学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合的概念与运算学案新人教版

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第一章　集合与常用逻辑用语
第一讲　集合的概念与运算

知识梳理·双基自测

知识点一　集合的基本概念
一组对象的总体构成一个集合．
(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．
(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，__a∈A__或__a∉A__，二者必居其一．
(3)常见集合的符号表示.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*
Z
Q
R
(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法、区间表示法．
(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．
知识点二　集合之间的基本关系
关系
定义
表示
相等
集合A与集合B中的所有元素都__相同__
A__＝__B
子集
A中的任意一个元素都是__B中的元素__
A__⊆__B
真子集
A是B的子集，且B中至少有一个元素__不属于A__
A____B
注意：(1)空集用__∅__表示．
(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为__2n__，真子集个数为__2n－1__，非空真子集的个数为__2n－2__.
(3)空集是任何集合的子集，是任何__非空集合__的真子集．
(4)若A⊆B，B⊆C，则A__⊆__C．
知识点三　集合的基本运算
符号语言
交集A∩B
并集A∪B
补集∁UA
图形语言

意义
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.
2．A∪A＝A，A∪∅＝A．
3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A．
4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为1或－1或0.(　×　)
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　×　)
(3)方程＋(y＋2 023)2＝0的解集为{2 022，－2 023}．(　×　)
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C．(　×　)
(5)设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁UA＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修1P5B1改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝45，则(　D　)
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
[解析]　452＝2 025>2 022，∴a∉P，故选D．
3．(必修1P7T3(2)改编)若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是(　B　)
A．A＝B B．AB
C．AB D．B⊆A
[解析]　因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以AB，故选B．
题组三　走向高考
4．(2020·新高考Ⅱ，1,5分)设集合A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,5,8}，则A∩B＝(　C　)
A．{1,8} B．{2,5}
C．{2,3,5} D．{1,2,3,5,7,8}
[解析]　∵A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,5,8}，∴A∩B＝{2,3,5}，故选C．
5．(2020·新高考Ⅰ，1,5分)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝(　C　)
A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}
[解析]　已知A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，在数轴上表示出两个集合，由图易知A∪B＝{x|1≤x<4}．故选C．
6．(2020·天津，1,5分)设全集U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－3,0,2,3}，则A∩(∁UB)＝(　C　)
A．{－3,3} B．{0,2}
C．{－1,1} D．{－3，－2，－1,1,3}
[解析]　因为U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，B＝{－3,0,2,3}，所以∁UB＝{－2，－1,1}，又A＝{－1,0,1,2}，所以A∩(∁UB)＝{－1,1}，故选C．

考点突破·互动探究
考点一　集合的基本概念——自主练透
例1 (1)已知集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是(　C　)
A．－2∈A B．2 022∉A
C．3k2＋1∉A D．－35∈A
(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是(　C　)
A．1 B．3
C．6 D．9
(3)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2 020a的值为__1__；若1∉A，则a不可能取得的值为__－2，－1，0，，__.
[解析]　(1)当－2＝3k＋1时，k＝－1∈Z，故A正确；当2 022＝3k＋1时，k＝673∉Z，故B正确；∵k∈Z，∴k2∈Z，显然3k2＋1∈A，当－35＝3k＋1时，k＝－12∈Z，故D正确．故选C．
(2)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；
当x＝2时，y＝0,1,2.
故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，
即集合B中有6个元素．
(3)若a＋2＝1，则a＝－1，A＝{1,0,1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，当a＝－2时，A＝{0,1,1}，不合题意；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，显然都不合题意；因此a＝0，所以2 0200＝1.
∵1∉A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1解得a≠－1，－2.又∵a＋2、(a＋1)2、a2＋3a＋3互不相等，∴a＋2≠(a＋1)2得a≠；a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠－2；
综上a的值不可以为－2，－1,0，，.

名师点拨
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
考点二　集合之间的基本关系——师生共研
例2 (1)(2021·新高考八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝(　B　)
A．∅ B．M
C．N D．R
(2)已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的值不可能为(　A　)
A．－3 B．－2
C．0 D．3
(3)(理)设集合M＝，N＝，则下面正确的是(　B　)
A．M＝N B．MN
C．NM D．M∩N＝∅
(文)已知集合M＝，集合N＝，则(　A　)
A．MN B．NM
C．M＝N D．以上都不对
[解析]　(1)如图，∁RM⊆N，显然(∁RN)⊆M，∴M∪(∁RN)＝M，故选B．

(2)本题考查集合之间的关系．由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，所以B＝，，∅.当B＝时，－a＋1＝0，解得a＝3；当B＝时，a＋1＝0，解得a＝－2；当B＝∅时，a＝0.综上可得实数a的可能取值为3,0，－2，故选A．
(3)(理)解法一：(列举法)，由题意知
M＝
N＝
显然MN，故选B．
解法二：(描述法)
M＝，N＝
∵2k＋1表示所有奇数，而k＋4表示所有整数(k∈Z)
∴MN，故选B．
(文)解法一：(列举法)
M＝
N＝
显然MN.
解法二：(描述法)
∵＋＝π，k∈Z，－＝π，k∈Z，∴任取x∈M，有x∈N，且∈N，但∉M，∴MN.

名师点拨
判断集合间关系的3种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第(3)题解法一)
描述法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第(3)题解法二)
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.
〔变式训练1〕
(1)集合M＝，N＝，则两集合M，N的关系为(　D　)
A．M∩N＝∅ B．M＝N
C．M⊆N D．N⊆M
(2)(理)(2021·湖南长郡中学模拟改编)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝，则下列正确的是(　C　)
A．M＝N B．N⊆M
C．M＝∁RN D．(∁RN)∩M＝∅
(文)集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系为(　D　)
A．MN B．NM
C．M＝N D．MN且NM
(3)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为__4__.
(4)已知集合A＝{x|x2－2 023x＋2 022<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__[2 022，＋∞)__.
[解析]　(1)由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，∴N⊆M，故选D．
(2)(理)由题意得y＝x－|x|＝
∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝∁RN.故选C．
(文)因为1∈M,1∉N，所以MN，因为0∈N,0∉M，所以NM.综上知，MN且NM.
(3)由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3，4}，∴有4个．
(4)由x2－2 023x＋2 022<0，解得1<x<2 022，
故A＝{x|1<x<2 022}．
又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 022.

考点三　集合的基本运算——多维探究
角度1　集合的运算
例3 (1)(2020·课标Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)＝(　A　)
A．{－2,3} B．{－2,2,3}
C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}
(2)(2020·课标Ⅱ)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝(　D　)
A．∅ B．{－3，－2,2,3}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
(3)(2021·浙江杭州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，集合B＝ {x|log3(x＋1) <1}，则A∪B＝__(－1,2)__，( ∁RA)∩B＝__(－1,1]__.
[解析]　(1)∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{－1，0,1,2}，又∵集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{－2,3}．故选A．
(2)由已知得A＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x<－1或x>1，x∈Z}，∴A∩B＝{－2,2}．故选D．
(3)依题意可知，A＝{x|1<x<2}，B＝{x|0<x＋1<3}＝{x|－1<x<2}，所以A∪B＝(－1,2)，∁RA＝{x|x≤1或x≥2}，所以(∁RA)∩B＝(－1,1]．
角度2　利用集合的运算求参数
例4 (1)已知集合A＝{x|x2－3x<0)，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠∅，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为__[2,3]__.
[解析]　(1)因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B．
(2)由A∩B＝B知，B⊆A．

又B≠∅，则解得2≤m≤3，
则实数m的取值范围为[2,3]．
[引申1]本例(2)中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情况又如何？
[解析]　应对B＝∅和B≠∅进行分类．
①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.
②若B≠∅，由例得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．
[引申2]本例(2)中是否存在实数m，使A∪B＝B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析]　由A∪B＝B，即A⊆B得
即不等式组无解，故不存在实数m，使A∪B＝B．
[引申3]本例(2)中，若B＝{x|m＋1≤x≤1－2m}，AB，则m的取值范围为__(－∞，－3]__.
[解析]　由题意可知解得m≤－3.

名师点拨
集合的基本运算的关注点
1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·北京，1,4分)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B＝(　D　)
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{－1,1,2} D．{1,2}
(2)(角度1)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝(　D　)
A．(2,3] B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．[1,2) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
(3)(理)(角度2)(2020·长沙模拟)设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为(　B　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
(文)(角度2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是(　D　)
A．a<1 B．a≤1
C．a>2 D．a≥2
[解析]　(1)集合A与集合B的公共元素为1,2，由交集的定义知A∩B＝{1,2}，故选D．
(2)∁UA＝{x|x<0或x>2}，则(∁UA)∪B＝{x|x<0或x≥1}，故选D．
(3)(理)①当a>1时，A＝{x|x≤1或x≥a}，∵A∪B＝R，
∴a－1≤1，∴1<a≤2；
②当a＝1时，A＝R，A∪B＝R；
③当a<1时，A＝{x|x≤a或x≥1}，∵A∪B＝R，
∴a－1≤a，显然成立．
综上所述a≤2，故选B．
(文)集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图，

可知a≥2.

名师讲坛·素养提升
集合中的新定义问题
例5 定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　B　)
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析]　由题意知，B＝{0,1,2}，＝，则∪B＝，共有7个元素．

名师点拨
集合新定义问题的“3定”
(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．
(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．
(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．
〔变式训练3〕
(2021·江西九江联)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知M＝{y|y＝－x2＋2x，0<x<2}，N＝{y|y＝2x－1，x>0}，则M⊗N＝__∪(1，＋∞)__
[解析]　M＝{y|y＝－x2＋2x,0<x<2}＝(0,1]，N＝{y|y＝2x－1，x>0}＝，则M∪N＝(0，＋∞)，M∩N＝，所以M⊗N＝∪(1，＋∞)．