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2022版高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形 新高考新题型微课堂 3 多选题命题热点之三角函数的图像与性质学案新人教B版

2022版高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形 新高考新题型微课堂 3 多选题命题热点之三角函数的图像与性质学案新人教B版

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第4章 三角函数与解三角形

三　多选题命题热点之三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质是高考考查的热点内容之一，且在多选题中出现频率较高，主要考查内容有：三角函数的奇偶性、周期性、单调性、图像的对称性、平移变换等．在考查时经常与三角恒等变换相结合，解题时要充分利用三角函数的图像及性质，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解．
　三角函数的图像
(多选题)(2020·全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝(　　)

A．sin　　　　　 B．sin
C．cos D．cos
BC　解析：由函数图像知＝－＝，则ω＝＝＝2，所以A项不符合．
当x＝＝时，y＝－1，
所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，即函数的解析式为
y＝sin＝sin
＝cos＝sin，故BC正确．
而cos＝－cos，故D错误．故选BC.

确定函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的策略
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图像求其解析式时，可以通过观察图得出A，求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)的坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．

(多选题)(2020·菏泽模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋4φ)的部分图像如图所示．若函数f(x)的图像纵坐标不变，将横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则(　　)

A．函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin
B．函数g(x)的解析式为g(x)＝2sin
C．函数f(x)图像的一条对称轴是直线x＝－
D．函数g(x)在区间上单调递增
ABD　解析：由图可知，A＝2，＝π，所以T＝4π＝，得ω＝，所以f(x)＝2sin.将(0,1)代入得sin 4φ＝.因为0<φ<，所以4φ＝.
所以f(x)＝2sin，故A正确．
函数f(x)的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得g(x)＝2sin＝2sin，故B正确．
f ＝2sin＝0，不是最值，故x＝－不是函数f(x)图像的对称轴，C错误．
由x∈，得2x－∈.函数y＝sin x在区间上单调递增．根据复合函数的单调性可知，函数g(x)在区间上单调递增，D正确．故选ABD.
　三角函数的性质
(多选题)已知函数f(x)＝Asin ωx－cos ωx(A>0，ω>0)，g(x)＝2sin x．若对于∀x1∈R，∃x2∈，使得f(x1)≤g(x2)成立，且f(x)在区间上的值域为[－1，]，则实数ω的取值可能是(　　)
A. B.
C.1 D.
CD　解析：因为对于∀x1∈R，∃x2∈，使得f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)max，即≤.因为f(x)在区间上的值域为[－1，]，所以f(x)max＝≥.综上，＝，得A＝1，此时f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin.因为f(x)在区间上的值域为[－1，]，即－1≤·sin≤，得－≤sin≤1.当x∈时，ωx－∈，所以≤ω－≤π＋，即1≤ω≤2.故选CD.

探求三角函数的性质策略
(1)正弦、余弦函数的最小正周期T＝2π，函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的最小正周期是T＝；正切函数的最小正周期为T＝π， 函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的最小正周期是T＝.
(2)讨论三角函数的性质，应先把函数化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的形式，然后通过换元法令t＝ωx＋φ，转化为研究y＝Asin t或y＝Acos t的性质．

1．(多选题)(2020·山东模拟)若函数f(x)＝4sin ωx·sin2＋cos 2ωx－1(ω>0)在上单调递增，则(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)的最小正周期T＝
C．ω的最大值为
D．ω没有最小值
BCD　解析：f(x)＝4sin ωx·sin2＋cos 2ωx－1＝4sin ωx＋cos 2ωx－1＝2sin ωx＋2sin2ωx＋1－2sin2ωx－1＝2sin ωx，为奇函数，包含原点的单调递增区间为.又f(x)在上单调递增，所以解得0<ω≤.综上所述，f(x)是奇函数，最小正周期T＝，ω的最大值是，ω没有最小值．故选BCD.
2．(多选题)(2020·威海一模)设函数f(x)＝2cos 2x－2－cos 2x，则(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)的值域为
C．f(x)的一个周期为π
D．f 的图像关于点对称
BC　解析：对于A，函数f(x)＝2cos 2x－2－cos 2x是由y＝2t－2－t和t＝cos 2x复合而成．当x∈时，2x∈(0，π)，t＝cos 2x单调递减．又y＝2t－2－t在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)在上单调递减，故A错误．对于B，因为t＝cos 2x，所以t∈[－1,1]．又因为y＝2t－2－t单调递增，所以ymin＝2－1－2＝－，ymax＝2－2－1＝，所以f(x)的值域为，故B正确．对于C，因为f(x＋π)＝
2cos 2(x＋π)－2－cos 2(x＋π)＝2cos 2x－2－cos 2x＝f(x)，所以π是f(x)的一个周期，故C正确．对于D，设g(x)＝f＝2cos 2－2－cos 2＝2－sin 2x－2sin 2x.在f的图像上任取一点(x，g(x))，则(x，g(x))关于的对称点的坐标为，将代入g(x)，得g＝2－sin 2－2sin 2＝2－sin 2x－2sin 2x＝g(x)≠－g(x)，所以点不在函数f的图像上，所以f的图像不关于点对称，故D错误．故选BC.