2022版高考数学一轮复习-课时质量评价62-离散型随机变量的分布列及数字特征新人教A版.doc
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2022版高考数学一轮复习 课时质量评价62 离散型随机变量的分布列及数字特征新人教A版 2022版高考数学一轮复习 课时质量评价62 离散型随机变量的分布列及数字特征新人教A版 年级: 姓名: 课时质量评价(六十二) (建议用时:45分钟) A组 全考点巩固练 1.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回5个红球”事件的是( ) A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 C 解析:“放回5个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6. 2.(2020·南宁二中高三月考)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1),发球次数为X.若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围为( ) A. B. C. D. A 解析:由题可知P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75, 解得p>或p<. 由p∈(0,1)可得p∈.故选A. 3.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球个数为X.已知E(X)=3,则D(X)=( ) A. B. C. D. B 解析:由题意可得,X~B. 又E(X)==3,所以m=2, 则X~B,故D(X)=5××=. 4.(2020·浙江重点高中联考)已知0<a<1,随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P (1-a)2 2a(1-a) a2 若E(X)=D(X),则实数a的值为( ) A. B. C. D. D 解析:(方法一)由随机变量X的分布列及数学期望和方差的计算公式可知,E(X)=-(1-a)2+a2=2a-1,D(X)=(-1-2a+1)2(1-a)2+(-2a+1)2×2a(1-a)+(1-2a+1)2a2=2a(1-a).因为E(X)=D(X),所以2a-1=2a(1-a),得a=.故选D. (方法二)令Y=X+1,则X=Y-1,随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 P (1-a)2 2a(1-a) a2 由二项分布的有关知识可知,Y~B(2,a), 所以E(Y)=2a,D(Y)=2a(1-a), 所以E(X)=E(Y-1)=E(Y)-1=2a-1, D(X)=D(Y-1)=D(Y)=2a(1-a). 又E(X)=D(X),所以2a-1=2a(1-a),得a=.故选D. 5.(2020·红桥区高三一模)已知一个口袋中装有3个红球和2个白球,从中有放回地连续摸三次,每次摸出2个球.若2个球颜色不同则中奖,否则不中奖.设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ,则ξ的期望为( ) A. B. C. D. A 解析:由题意可知,每次摸球中奖的概率p=1-=,则ξ~B. 因此,ξ的期望为E(ξ)=3×=.故选A. 6.签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支.设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为( ) A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6 B 解析:由题意可知,X可以为3,4,5,6,P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==.由数学期望的定义可求得E(X)=3×+4×+5×+6×=5.25. 7.(2020·福建高三模拟)勤洗手、常通风、戴口罩是切断某些传染病传播的有效手段.经调查,某疫情期间,某小区居民人人养成了出门戴口罩的好习惯.选择佩戴一次性医用口罩的概率为p,每人是否选择佩戴一次性医用口罩是相互独立的.现随机抽取5位该小区居民,其中选择佩戴一次性医用口罩的人数为X,且P(X=2)<P(X=3),D(X)=1.2,则p的值为________. 解析:因为D(X)=1.2,所以5p(1-p)=1.2,解得p=或p=. 因为P(X=2)<P(X=3),所以Cp2(1-p)3<Cp3(1-p)2,解得p>,所以p=. 8.2020年高考前第二次适应性训练结束后,某校对全市的英语成绩进行统计,发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合.据此估计:在全市随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率为________. 解析:由题意可知每名学生的英语成绩ξ~N(95,82), 所以P(ξ>95)=, 故所求概率p=C×=. 9.(2020·大港一中高三二模)某中学的十佳校园歌手有6名男同学,4名女同学,其中3名来自1班,其余7名来自其他互不相同的7个班.现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会,则选出的3名同学来自不同班级的概率为________;设X为选出3名同学中女同学的人数,则该变量X的数学期望为________. 解析:设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A, 则P(A)==. 由题意知随机变量X的所有可能值为0,1,2,3, 且P(X=k)=(k=0,1,2,3), 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=. 10.(2021·青岛二中月考)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位:min)进行调查,将收集的数据分成[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]六组,并作出频率分布直方图(如图).将日均课外体育锻炼时间不低于40 min的学生评价为“课外体育达标”. (1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表,并通过计算,判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关. 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 60 女 110 总计 (2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层随机抽样,抽取8人,再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查.记“课外体育不达标”的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 解:(1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.020+0.005)×10]=50, 则“课外体育不达标”人数为150, 所以列联表如下: 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 60 30 90 女 90 20 110 总计 150 50 200 所以χ2==≈6.061<6.635. 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,不能认为“课外体育达标”与性别有关. (2)采用分层随机抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人,在“课外体育不达标”的学生中抽取6人,由题意可知,ξ的所有可能取值为1,2,3, P(ξ=1)===, P(ξ=2)===, P(ξ=3)===, 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 故ξ的数学期望E(ξ)=1×+2×+3×=. B组 新高考培优练 11.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是( ) A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.D(X)= AB 解析:因为随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,所以P(X=1)=, E(X)=0×+1×=, D(X)=×+×=. 在A中,P(X=1)=E(X),故A正确; 在B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B正确; 在C中,D(3X+2)=9D(X)=9×=2,故C错误; 在D中,D(X)=,故D错误. 故选AB. 12.(多选题)某市有A,B,C,D四个景点,一位游客来该市游览.已知该游客游览A景点概率为,游览B,C和D景点的概率都是,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,则(ABD) A.游客至多游览一个景点的概率为 B.P(X=2)= C.P(X=4)= D.E(X)= 13.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则( ) A.抽取2次后停止取球的概率为 B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为 C.取球次数ξ的期望为2 D.取球次数ξ的方差为 BD 解析:设取球次数为ξ,可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3, 则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=×=. 对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误; 对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=+=,B选项正确; 对于C选项,取球次数ξ的期望为E(ξ)=1×+2×+3×=,C选项错误; 对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=×+×+×=,D选项正确.故选BD. 14.(2020·四川南充高三模拟)为弘扬新时代的中国女排精神.甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛,采用五局三胜制(即某队先赢三局则获胜,比赛随即结束).若两队的竞技水平和比赛状态相当,且每局比赛相互独立,则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是________. 解析:因为两队的竞技水平和比赛状态相当,所以每场比赛甲赢或乙赢的概率都是0.5. 设比赛结束时已经进行的比赛局数为ξ,则ξ的可能取值为3,4,5. P(ξ=3)=C×+C=, P(ξ=4)=C×××+C×××=, P(ξ=5)=C×××=, 所以ξ的分布列为 ξ 3 4 5 P E(ξ)=3×+4×+5×=. 15.某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案: 方案一:交纳延保金7 000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2 000元; 方案二:交纳延保金10 000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1 000元. 某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表: 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数. (1)求X的分布列; (2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算? 解:(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6. P(X=0)=×=, P(X=1)=××2=, P(X=2)=×+××2=, P(X=3)=××2+××2=, P(X=4)=×+××2=, P(X=5)=××2=, P(X=6)=×=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P (2)选择延保方案一,所需费用Y1元的分布列为 Y1 7 000 9 000 11 000 13 000 15 000 P E(Y1)=×7 000+×9 000+×11 000+×13 000+×15 000=10 720(元). 选择延保方案二,所需费用Y2元的分布列为 Y2 10 000 11 000 12 000 P E(Y2)=×10 000+×11 000+×12 000=10 420(元). 因为E(Y1)>E(Y2),所以该医院选择延保方案二较合算.- 配套讲稿:
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