小学六年级奥数第十五章最值问题.doc
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1、第十五章 最值问题知识要点 1.如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,它们的乘积越大。当两个数相等时,它们的乘积最大。 2.两个自然数的乘积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和也越小。 3.把一个数拆分成若干个自然数之和,如果要使这若干个自然数的乘积最大,那么这些自然数应全是2或3,且2的个数不超过2个。典例巧解例1 两个自然数的和是13,要使两个整数的乘积最大,这两个整数是多少?点拨 将两个自然数的和为13的所有情况都列出来,有以下7种情况: 13013, 0130; 13112, 11212; 13211, 11222; 13310, 31030; 1349, 4936;
2、1358, 5840; 1367, 6742。 由此可见,两个整数的和一定时,两个整数的差越小,它们的乘积越大。解 13261, 6(61)42。 答:这两个整数分别为6和7。例2 比较下面两个乘积的大小。 A5712846387596512 B5712847087596505点拨 要比较A与B的大小,用计算的方法求积会很麻烦。仔细观察两组对应因数的大小,我们不难发现,两个因数的和是一定的,只要比较每组两个因数差的大小就可以了,差大的积反而小,差小的积反而大。解 A组两个因数的差:875965125712846330468049, B组两个因数的差:8759650557128470304680
3、35。 因为3046804930468035,所以BA。例3 两个自然数的积是50,这两个自然数是什么值时,它们的和最小?点拨 两个自然数乘积是50的,共有三种情况: 50501,50151; 50252,25227; 50105,10515。 从上面的分析我们不难看出:当两个自然数的积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和越小。解 50105,此时两数的差最小,所以两个因数之和最小为10515。 答:当这两个自然数是10和5时,它们的和最小,是15。例4 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中,选出五个不同的数字组成一个五位数,使它能被3,5,7和13整除,这个数最大是多
4、少?点拨 要使这个五位数能被3,5,7和13整除,可知这个五位数是3,5,7,13的公倍数,而3,5,7,13的最小公倍是357131365。在五位数中,1365的最大倍数是13657399645,但99645中有两个9重复,不符合题意。因而99645可逐个减少1365,直至找出符合题意的五位数。解 3,5,7和13的最小公倍数是357131365,在五位数中1365的最大公倍数是13657399645。 99645136598280(不符合题意), 98280136596915(不符合题意), 96915136595550(不符合题意), 95550136594185(符合题意)。 答:这个
5、最大的五位数是94185。例5 要砌一个面积为144平方米的猪圈,这个猪圈的围墙最少长多少米?点拨 要想使猪圈的围墙最少,两个边的差越小越好。解 1441212,所以围墙最少长:(1212)248(米)。 答:这个猪圈的围墙最少长48米。说明 面积一定的长方形中,正方形的周长最短。例6 把17拆分成若干个自然数的和,怎样拆分才能使它们的乘积最大?点拨 显然,拆分的数中不能有0。假设分成的自然数有1,x是分成的另一个自然数,因为1x1x,也就是说,将1x作为分成的一个自然数要比分成1和1两个自然数好,所以分成的自然数不应有1。 如果分成的自然数中有大于4的数,那么将这个数分成两个最接近的整数,这
6、两个数的乘积大于原来的自然数。例如,52323,83535,也就是说只要有大于4的数,这个数就可以再分,所以分成的自然数中不应有大于4的数。 如果分成的自然数有4,因为422,所以可以将4分成两个2,那么把17分解时只能有2和3。因为6222,2228,633,339,说明虽然3个2与2个3的和都是6,但2个3的乘积大于3个2的乘积,所以分成的自然数中最多有2个2,其余都是3。解 17333332, 乘积最大时为333332486。例7 已知长方体的长、宽、高均为整厘米数,相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米。求表面积最小的长方体的体积。点拨 设长方体的长为a厘米,宽为b厘米,高为c
7、厘米,依题意列关于长方体的表面积和体积的表达式,并对其进行最值问题的讨论,问题易解。解 设长方体的长为以厘米,宽为6厘米,高为c厘米,依题意有: ab180,bc84。 由此可知b是180和84的公约数,而长方体的表面积为: (abbcac)2(18084ac)2. 可以看出,ac越小,表面积越小,因而应使b尽可能的大,180和84的最大公约数是12,此时,长方体体积为: abc1260(立方厘米)。 答:表面积最小的长方体的体积是1260立方厘米。例8 某市发出的车牌号码均由6个数字(从0到9这10个数中选择)组成,该市规定:任意两个车牌至少要有两对同一数位上的数字不同(如车牌号038471
8、和030471不能同时使用)。求该市最多能发出多少个不同车牌。点拨 如果发出了100001个车牌,则由抽屉原理可知:至少有2个车牌的前5个数字相同,则此2个号码违反规定。因此,该市发出的车牌不能超过100000个。解 可发出100000个车牌并符合规定:号码前5位任意填写(100000种填法),个位则填写前五位数字之和的个位数字。 对这样得到的两个牌号a1a2a3a4a5a6和b1b2b3b4b5b6;若a1a2a3a4a5a6与b1b2b3b4b5b6中有两个或两个以上表示不同,则符合规定; 若a1a2a3a4a5与b1b2b3b4b5中只有一个数字不同,不妨设a1b2,则a6b6(a1a2
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