2022版高考数学一轮复习-练案35-第五章-数列-第四讲-数列求和新人教版.doc
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2022版高考数学一轮复习 练案35 第五章 数列 第四讲 数列求和新人教版 2022版高考数学一轮复习 练案35 第五章 数列 第四讲 数列求和新人教版 年级: 姓名: 第四讲 数列求和 A组基础巩固 一、单选题 1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值等于( A ) A.n2+1- B.2n2-n+1- C.n2+1- D.n2-n+1- [解析] 该数列的通项公式为an=(2n-1)+,则Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-. 2.已知数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,则的前100项和为( D ) A. B. C. D. [解析] ∵an+1=a1+an+n,a1=1,∴an+1-an=1+n. ∴an-an-1=n(n≥2). ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=. ∴==2. ∴的前100项和为2 =2=.故选D. 3.化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是( D ) A.2n+1+n-2 B.2n+1-n+2 C.2n-n-2 D.2n+1-n-2 [解析] 因为Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1①,2Sn=n×2+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2n-1+2n②,所以①-②得,-Sn=n-(2+22+23+…+2n)=n+2-2n+1,所以Sn=2n+1-n-2. 4.(2020·黑龙江哈尔滨三中期末)数列{an}的前n项和为Sn,且an=(-1)n(2n-1),则S2 019=( B ) A.2 019 B.-2 019 C.-4 037 D.4 037 [解析] 本题考查用并项相加求数列的前n项和.由已知an=(-1)n·(2n-1),a2 019=(-1)2 019(2×2 019-1)=-4 037,且an+an+1=(-1)n(2n-1)+(-1)n+1(2n+1)=(-1)n+1(2n+1-2n+1)=2×(-1)n+1,因而S2 019=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2 017+a2 018)+a2 019=2×1 009-4 037=-2 019. 5.(2021·江西宁都中学线上检测)已知f(x)=(x∈R),若等比数列{an}满足a1a2 020=1,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 020)=( D ) A. B.1 010 C.2 019 D.2 020 [解析] 本题综合考查函数与数列相关性质.∵f(x)=(x∈R),∴f(x)+f=+=+=2.∵等比数列{an}满足a1a2 020=1,∴a1a2 020=a2a2 019=…=a2 020a1=1,∴f(a1)+f(a2 020)=f(a2)+f(a2 019)=…=f(a2 020)+f(a1)=2,∴f(a1)+f(a2)+…+f(a2 020)=2 020. 6.我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为: (1)构造数列1,,,,…,;① (2)将数列①的各项乘以,得到一个新数列a1,a2,a3,a4,…,an. 则a1a2+a2a3+a3a4+…+an-1an=( C ) A. B. C. D. [解析] 依题意可得新数列为,,,…,×, 所以a1a2+a2a3+…+an-1an=+…+ = =×=.故选C. 二、多选题 7.(2021·重庆月考)已知数列{an}满足a1=-2,=(n≥2,n∈N*),{an}的前n项和为Sn,则( ABD ) A.a2=-8 B.an=-2n·n C.S3=-30 D.Sn=(1-n)·2n+1-2 [解析] 由题意可得,=2×,=2×,=2×,…,=2×(n≥2,n∈N*),以上式子左、右分别相乘得=2n-1·n(n≥2,n∈N*),把a1=-2代入,得an=-2n·n(n≥2,n∈N*),又a1=-2符合上式,故数列{an}的通项公式为an=-2n·n(n∈N*),a2=-8,故A,B正确;Sn=-(1×2+2×22+…+n·2n),则2Sn=-[1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1],两式相减,得Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2(n∈N*),故S3=-34,故C错误,D正确. 8.数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律:,,,,,,,,,,…,,,…,,以下说法正确的是( ACD ) A.a24= B.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列 C.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn= D.若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak= [解析] 对于选项A,a22=,a23=,a24=,故A正确.对于选项B、C,数列,1,,2,…等差数列,Tn=,故B错,C正确.对于选项D,S21>10,S20<10,a20=,正确.故选A、C、D. 三、填空题 9.+++…+= - [解析] ∵===(-), ∴+++…+ = = =-. 10.(2021·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项之和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则S10= 1_078 . [解析] a1=2,an+1=an+2n-1+1⇒an+1-an=2n-1+1⇒an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1⇒an=2n-2+2n-3+…+2+1+n-1+a1. =+n-1+2=2n-1+n. S10=1+2+22+…+29+=1 078. 11.(2021·海南三亚模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2,数列{bn}满足bn=|an|,设数列{bn}的前n项和为Tn,则T4= 24 ,T30= 650 . [解析] 当n=1时,a1=S1=9,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=10n-n2-[10(n-1)-(n-1)2]=-2n+11,当n=1时也满足,所以an=-2n+11(n∈N*),所以当n≤5时,an>0,bn=an,当n>5时,an<0,bn=-an,所以T4=S4=10×4-42=24,T30=S5-a6-a7-…-a30=2S5-S30=2×(10×5-52)-(10×30-302)=650. 12.(2021·广东省五校协作体高三第一次联考)已知数列{an}满足:a1为正整数,an+1=如果a1=1,则a1+a2+a3+…+a2 018= 4_709 . [解析] 由已知得a1=1,a2=4,a3=2,a4=1,a5=4,a6=2,周期为3的数列,a1+a2+…+a2 018=(1+4+2)×672+1+4=4 709. 四、解答题 13.(2021·山东枣庄八中模拟)等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和Tn. [解析] (1)设数列{an}的公比为q,由a=9a2a6得a=9a,所以q2=, 又q>0,故q=. 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=. 所以数列{an}的通项公式为an=. (2)由(1)及题意可得bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-, 故=-=-2, Tn=++…+=-2++…+=-. 所以数列的前n项和Tn=-. 14.(2021·云南省红河州高三复习统一检测)等差数列{an}的首项a1>0,数列的前n项和为Sn=. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(an+1)·2an,求数列{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)由的前n项和为Sn=知 可得 设等差数列{an}的公差为d, 从而解得或, 又a1>0,则, 故an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1)知bn=(an+1)·2an=2n·22n-1=n·4n, 则Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=1×41+2×42+3×43+…+(n-1)×4n-1+n×4n, 两边同时乘以4得4Tn=1×42+2×43+3×44+…+(n-1)×4n+n×4n+1, 两式相减得-3Tn=41+42+43+44+…+4n-n×4n+1=-n×4n+1, 故Tn=+·4n+1. B组能力提升 1.(2021·江苏连云港月考)设i是虚数单位,则2i+3i2+4i3+…+2 020i2 019的值为( B ) A.-1 010-1 010i B.-1 011-1 010i C.-1 011-1 012i D.1 011-1 010i [解析] 本题考查等比数列的求和公式,错位相减法以及复数的乘除法运算,设S=2i+3i2+4i3+…+2 020i2 019,可得iS=0+2i2+3i3+4i4+…+2 019i2 019+2 020i2 020,两式相减可得(1-i)S=2i+i2+i3+i4+…+i2 019-2 020i2 020=i+i+i2+i3+i4+…+i2 019-2 020i2 020=i+-2 020i2 020=i+-2 020=i+-2 020=-2 021+i,可得S===-1 011-1 010i. 2.(2021·益阳、湘潭调研考试)已知Sn为数列{an}的前n项和,若a1=2且Sn+1=2Sn,设bn=log2an,则++…+的值是( B ) A. B. C. D. [解析] 由Sn+1=2Sn可知,数列{Sn}是首项为S1=a1=2,公比为2的等比数列,所以Sn=2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.bn=log2an=当n≥2时,==-,所以++…+=1+1-+-+…+-=2-=.故选B. 3.(多选题)(2021·山东济宁期末)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1,则下列说法正确的是( AC ) A.a5=-16 B.S5=-63 C.数列{an}是等比数列 D.数列{Sn+1}是等比数列 [解析] 因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1,所以a1=S1=2a1+1,所以a1=-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,故C正确;a5=-1×24=-16,故A正确;Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.故选AC. 4.若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,记Sn为{an}的前n项和,则下列说法正确的是( D ) A.若{an}是递增数列,则a1<0,q<0 B.若{an}是递减数列,则a1>0,0<q<1 C.若q>0,则S4+S6>2S5 D.若bn=,则{bn}是等比数列 [解析] A选项中,a1=2,q=3,满足{an}单调递增,故A错误;B选项中,a1=-1,q=2,满足{an}单调递减,故B错误;C选项中,若a1=1,q=,则a6<a5,S6-S5<S5-S4,故C错误;D选项中,==(q≠0),所以{bn}是等比数列.故D正确.故选D. 5.(2021·山东省济南市历城第二中学高三模拟考试)等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令cn=,设数列{cn}的前n项和Tn,求T2n. [解析] (1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q, 由b2+S2=10,a5-2b2=a3, 得,解得. ∴an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1. (2)由a1=3,an=2n+1得Sn=n(n+2), 则n为奇数,cn==-, n为偶数,cn=2n-1. ∴T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n) =+(2+23+…+22n-1) =1-+=+(4n-1).- 配套讲稿:
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