2022版高考数学一轮复习-第八章-解析几何-第四讲-直线与圆、圆与圆的位置关系学案新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系学案新人教版

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第四讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

知识梳理·双基自测

知识点一　直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ．
　　　　方法
位置关系　　　　
几何法
代数法
相交
d__＜__r
Δ__＞__0
相切
d__＝__r
Δ__＝__0
相离
d__＞__r
Δ__＜__0

知识点二　圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)．
　方法
位置关系　 　　
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
公切线条数
外离
__d＞r1＋r2__
__无解__
4
外切
__d＝r1＋r2__
一组实数解
3
相交
__|r1－r2|＜d＜r1＋r2__
两组不同的实数解
2
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
__一组实数解__
1
内含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
__无解__
0

1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．
两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．
2．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2．
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋2．
5．过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　×　)
(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　×　)
(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2．(　√　)
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　√　)
题组二　走进教材
2．(必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝____．
[解析]　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝()2，
又圆心(1,2)到直线l的距离为，
∴|AB|＝2＝．
题组三　走向高考
3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r．若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__－2__，r＝____．
[解析]　解法一：设直线2x－y＋3＝0为l，
则AC⊥l，又kl＝2，∴kAC＝＝－，
解得m＝－2，∴C(0，－2)，
∴r＝|AC|＝＝．
解法二：由题知点C到直线的距离为，
r＝|AC|＝，
由直线与圆C相切得＝，
解得m＝－2，∴r＝＝．
4．(2015·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　A　)
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
[解析]　设直线的方程为2x＋y＋c＝0，则由题意知＝，∴c＝±5，
∴所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．故选A．
5．(2020·高考全国Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　B　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　圆x2＋y2－6x＝0化为(x－3)2＋y2＝9，∴圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2＝2＝2，故选B．

考点突破·互动探究
考点一　直线与圆的位置关系的判定——自主练透
例1 (1)(2020·广东广州综合测试)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是(　D　)
A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3]
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
(2)(2021·山东日照一中期中)已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的个数是(　B　)
①m∥l　②m⊥l　③m与圆相离　④m与圆相交
A．1 B．2
C．3 D．4
(3)(2021·四川资阳、遂宁等七市联考)圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为1的点共有(　C　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析]　(1)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径为2，由题意可知圆心到直线的距离d＝≤2，化简得32＋≥0，故k∈(－∞，＋∞)．故选D．
简解：注意到直线kx－y＋1＝0过定点A(0,1)，且A在圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0内，故k的取值范围为(－∞，＋∞)，故选D．
(2)∵点P(a，b)在圆x2＋y2＝r2外，∴a2＋b2＞r2，又直线l的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by＝a2＋b2，又m：ax＋by＝r2，∴m∥l，又圆心O到直线m的距离d＝＜r，∴m与圆相交，即①④正确，故选B．
(3)圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0即(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(－1,1)，半径为r＝2．又C到直线l的距离为d＝＝1，∴⊙C上到直线l距离为1的点有3个，故选C．

名师点拨
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
(4)判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小．
〔变式训练1〕
(1)(2021·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(　D　)
A． B．
C． D．
(2)(2021·湖南五市十校联考改编)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线3x－4y＋m＝0上存在点P满足·＝0，则实数m的值不是(　A　)
A．－12 B．0
C．2 D．5
[解析]　(1)数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于或等于半径1，即≤1，解得－≤k≤，故选D．
(2)设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，由⊥得x2＋y2＝1，因P在直线3x－4y＋m＝0上，故圆心到直线的距离d＝≤1，故m∈[－5,5]，故选A．
考点二　直线与圆的综合问题——多维探究
角度1　圆的切线问题
例2 (1)过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　C　)
A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0
(2)(2021·云南适应性考试)已知圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，过直线l：3x＋ay－5＝0(a＞0)上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为__－__．
[解析]　(1)当斜率不存在时，x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，则切线方程为4x－3y＋4＝0，故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0．
(2)设切线长最小时直线上对应的点为P，则PC⊥l又|CP|＝＝，因为切线长的最小值为，故()2＋1＝2，解得a＝4，故直线l的斜率为－．故答案为：－．
[引申](1)若将本例(1)中“P(2,4)”改为“P”，则切线方程为__x－y－＝0__．
(2)本例(1)中过切点的直线方程为__x＋3y－5＝0__．
角度2　圆的弦长问题
例3 (1)(2018·课标全国Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝__2__．
(2)(2021·广东广州三校联考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－4y＝0相交所得的弦长为2，则p的值为(　C　)
A． B．1
C．2 D．4
[解析]　(1)将圆x2＋y2＋2y－3＝0化为标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，
则圆心坐标为(0，－1)，半径r＝2，
∴圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2．
(2)圆x2＋y2－4y＝0即x2＋(y－2)2＝22的圆心为C(0,2)，半径为2，由题意可知圆心到准线x＝－的距离＝＝1，∴p＝2．故选C．

名师点拨
直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
注：①过圆C内一点P的最短弦所在直线与PC垂直，最长弦所在直线是PC．②过圆C外P作圆的切线，切点为A、B，则AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2021·安徽合肥调研)若直线l经过抛物线x2＝－4y的焦点且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则直线l的方程为__x＝0或4x－3y－3＝0__．
(2)(角度2)(2021·河北衡水中学调研)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆截直线x＋ay＋2＝0所得弦长的最小值等于(　B　)
A．2 B．4
C． D．2
(3)(2020·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为__(x－1)2＋(y＋1)2＝2__．
[解析]　(1)抛物线x2＝－4y的焦点为F(0，－1)，当直线l斜率不存在时，其方程为x＝0，显然与圆相切；当直线l斜率存在时，设其方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，∴＝1，解得k＝，此时直线l的方程为4x－3y－3＝0．
(2)设圆心坐标P为(m，－2)，则r2＝(1－m)2＋(3＋2)2＝(4－m)2＋(2＋2)2，解得m＝1，r＝5，所以P(1，－2)．又直线过定点Q(－2,0)，当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆的性质可知弦长为2＝2＝4，∴直线x＋ay＋2＝0被圆截得的弦长为4．故选B．
(3)解法一：所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(a，－a)．
又∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴半径r＝＝|a|．
又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，
圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋()2＝r2，即＋＝2a2，
解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
解法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3．①
由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2．②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0．③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．
考点三,圆与圆的位置关系——师生共研
例4 (1)(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　B　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(　C　)
A． B．
C． D．2
[解析]　(1)由垂径定理得2＋()2＝a2，
解得a2＝4，又a＞0，所以a＝2，
所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，
所以圆M与圆N的圆心距d＝＝．
因为2－1＜＜2＋1，所以两圆相交．故选B．
(2)由圆C1与圆C2相外切，
可得＝2＋1＝3，
即(a＋b)2＝9，根据基本(均值)不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立．故选C．
[引申1]把本例(2)中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．
[解析]　由C1与C2内切，得＝1．
即(a＋b)2＝1，又ab≤2＝，
当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为．
[引申2]把本例(2)条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在直线的方程．
[解析]　把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．
圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①
圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②
由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，
即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线的方程．
[引申3]将本例(2)条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系．
[解析]　由两圆存在四条公切线，故两圆外离，
故＞3，
∴(a＋b)2＞9，即a＋b＞3或a＋b＜－3．
∴圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＞1，
∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．

名师点拨
如何处理两圆的位置关系
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．
〔变式训练3〕
(2021·山东济宁期末)已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a＞0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－＝0被圆M截得线段的长度为(　D　)
A．1 B．
C．2 D．2
[解析]　由题意，＝2＋1，∴a＝2，圆心M(2，0)到直线x－y－＝0的距离d＝＝1，∴直线x－y－＝0被圆M截得线段的长度为2＝2，故选D．

名师讲坛·素养提升
解决直线与圆问题中的数学思想
1．数形结合思想
例5　(2021·长春模拟)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　B　)
A． B．－
C．± D．－
[解析]　∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB
＝sin∠AOB≤．
当∠AOB＝时，△AOB面积最大．

此时O到AB的距离d＝．
设AB方程为y＝k(x－)(k＜0)，
即kx－y－k＝0．由d＝＝得k＝－．
2．转化与化归
例6　(2021·江西临川一中、南昌二中联考)已知两点A(－2,0)，B(2,0)以及圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝r2(r＞0)，若圆C上存在点P，满足·＝0，则r的取值范围是(　B　)
A．[3,6] B．[3,7]
C．[4,6] D．[4,7]
[解析]　由·＝0知PA⊥PB，即P在以AB为直径的圆D：x2＋y2＝4上，由题意可知圆C与圆D相交或相切，∴|r－2|≤≤r＋2，解得3≤r≤7．故选B．
[引申]若将“·＝0”改为“·＜0”，则r的取值范围为__(3,7)__．

名师点拨
根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，以形助数，使问题变得简单．——数形结合
将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简单、易解的问题．——转化与化归
〔变式训练4〕
(2021·山西模拟)直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有1个公共点，则b的取值范围是(　B　)
A．{，－} B．(－1,1]∪{－}
C．[－1,1] D．[－1,1]∪{，－}
[解析]　x＝可化简为x2＋y2＝1(x≥0)，所以它表示单位圆在y轴及其右侧的半圆，其与y轴的交点分别为(0,1)，(0，－1)．直线y＝x＋b与直线y＝x平行，b表示直线y＝x＋b的纵截距，将直线y＝x上下平移，可知当b∈(－1,1]时，直线y＝x＋b与曲线x＝有一个交点；当直线与曲线在第四象限相切时，只有一个公共点，此时b＝－．综上，b的取值范围是(－1,1]∪{－}．