2022版高考数学一轮复习-选修4-4-第二讲-参数方程学案新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 选修4-4 第二讲 参数方程学案新人教版2022版高考数学一轮复习 选修4-4 第二讲 参数方程学案新人教版年级：姓名：第二讲参数方程知识梳理双基自测知识点一参数方程的概念如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数反过来，对于t的每个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参数知识点二圆锥曲线的参数方程(1)圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为_(为参数)_(2)椭圆1(ab0)的参数方程为_(为参数)_(3)双曲线1(a0，b0)的参数方程为_(为参数)_(4)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数)知识点三直线的参数方程过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为_(t为参数)_，其中t表示直线上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的_数量_当t0时，的方向向上；当t0时，的方向向下；当t0时，M与M0重合根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2弦长l|t1t2|；M0是弦M1M2的中点t1t20；|M0M1|M0M2|t1t2|题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)参数方程(t1)表示的曲线为直线()(2)参数方程当m为参数时表示直线，当为参数时表示的曲线为圆()(3)直线(t为参数)的倾斜角为150()(4)参数方程(为参数且)表示的曲线为椭圆()题组二走进教材2(P25例3)曲线(为参数)的对称中心(B)A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1上D在直线yx1上解析由得所以(x1)2(y2)21曲线是以(1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(1,2)，在直线y2x上3(P37例2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_3_解析直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为1，椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3a0，a3题组三走向高考4(2020新课标卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t1)，C与坐标轴交于A、B两点(1)求|AB|；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程解析(1)令x0，则t2t20，解得t2或t1(舍)，则y26412，即A(0,12)令y0，则t23t20，解得t2或t1(舍)，则x2244，即B(4,0)|AB|4(2)由(1)可知kAB3，则直线AB的方程为y3(x4)，即3xy120由xcos，ysin 可得，直线AB的极坐标方程为3cos sin 1205(2018课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解析(1)曲线C的直角坐标方程为1当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2考点突破互动探究考点一参数方程与普通方程的互化例1 (1)把下列参数方程化为普通方程：(为参数，)；(t为参数)(2)(2019课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110求C和l的直角坐标方程；求C上的点到l距离的最小值解析(1)，由22得：x2y21其中x1,0，y0,1，由2得：x2y2，即yx22，其中x(，22，)(2)因为11，且x2221，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110由可设C的参数方程为(为参数，)C上的点到l的距离为当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为名师点拨将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2cos21等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解变式训练1(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a解析(1)曲线C的普通方程为y21当a1时，直线l的普通方程为x4y30由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d当a4时，d的最大值为由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为由题设得，所以a16综上，a8或a16考点二参数方程的应用例2 (1)(2020广东梅州质检)在极坐标系中，圆C：4cos 以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线l经过点M(1，3)且倾斜角为求圆C的直角坐标方程和直线l的参数方程；已知直线l与圆C交与A，B，满足A为MB的中点，求(2)(2021山西太原期中)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin 求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；设点P的直角坐标为(0，1)，若曲线C1与C2相交于A，B两点，求的值解析(1)由圆C：4cos 可得24cos ，因为2x2y2，xcos ，所以x2y24x，即(x2)2y24直线l：(t为参数，0)设A，B对应的参数分别为tA，tB，将直线l的方程代入C并整理，得t26t(sin cos )320，所以tAtB6(sin cos )，tAtB32又A为MB的中点，所以tB2tA，因此tA2(sin cos )4sin，tB8sin，所以tAtB32sin232，即sin21因为0，所以，从而，即(2)由消去参数t得曲线C1的普通方程为xy10，由得曲线C2的直角坐标方程为x2y24y0设A，B，将代入x2y24y0得t2t30，t1t2，t1t23，引申若本例(1)中去掉“A为MB的中点”，则的最大值为_解析(sin cos )sin显然当时max名师点拨(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等(2)利用直线参数方程中参数t的几何意义求相关的距离(线段长)时，解题的思路是：判断直线的参数方程是否是标准式；在求直线l与曲线C：f(x，y)0的交点间的距离时，把直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：f(x，y)0，化简整理后得到关于t的方程f(x0tcos ，y0tsin )0设该方程的根为t1，t2，直线l与曲线C的交点为A，B则|AB|t1t2|；设点P是直线l上一定点，l与曲线C的交点为A，B，则|PA|PB|t1t2|；()当线段PA与PB同向时，|PA|PB|t1t2|；()当线段PA与PB反向时，|PA|PB|t1t2|；线段AB的中点M对应的参数为tM注：当直线的参数方程不是标准式时，如(t为参数m2n21)，可化为标准式，即tt，化为(t为参数)求解变式训练2(2021广西钦州、崇左质检)在平面直角坐标系中，直线l过点P(3,2)，且倾斜角，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为4sin (1)求圆C的直角坐标方程；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|PB|的值解析(1)由4sin 得24sin ，从而有x2y24y，即x2(y2)24(2)设直线l的参数方程为，即代入圆的方程得224整理得：t23t50，t1t23，t1t25由t1t20且t1t20，可知|PA|PB|t1|t2|(t1t2)3考点三,极坐标方程与参数方程的综合应用例3 (1)(2020山西大同联考)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2设点M，N分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|MN|的最大值；设直线l：(t为参数)与曲线C1交于P，Q两点，且|PQ|1，求直线l的普通方程(2)(2021东北师大附中摸底)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系设曲线C的参数方程为，(为参数)，直线l的极坐标方程为cos4写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；求曲线C上的点到直线l的最大距离解析(1)由题意知，曲线C1的普通方程为(x3)2y24，圆心C1(3,0)，半径r12，曲线C2的直角坐标方程为x2y24，圆心C2(0,0)，半径r22，|MN|max|C1C2|r1r23227将直线l的参数方程代入(x3)2y24中，得(tcos 4)2(tsin )24，整理得t28tcos 120，64cos2480设P，Q两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t28cos ，t1t212由|PQ|1及参数t的几何意义，得|t1t2|1，解得cos ，满足0，直线l的斜率为tan ，直线l的方程为x7y0(2)由cos4，得(cos sin )4，直线l的直角坐标方程为xy80由得C的普通方程为y21在曲线C：y21上任取一点P(cos ，sin )，则点P到直线l的距离为d5曲线C上的点到直线l的最大距离为5名师点拨极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标方程，然后求解(2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断(3)求参数方程与极坐标综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题变式训练3(2020辽宁沈阳东北育才学校模拟)在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r(1)求圆C的极坐标方程；(2)若，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围解析(1)由C得，C直角坐标(1,1)，所以圆C的直角坐标方程为(x1)2(y1)23，由得圆C的极坐标方程为22cos 2sin 10(2)将代入C的直角坐标方程(x1)2(y1)23，得t22(cos sin )t10，则0，设A，B对应参数分别为t1，t2，则t1t22(cos sin )，t1t21，|AB|t1t2|，因为，所以sin 20,1，所以84sin 28,12，所以|AB|的取值范围为2，2