2022版高考数学一轮复习-课后限时集训-30-正弦定理、余弦定理.doc

2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 30 正弦定理、余弦定理

2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 30 正弦定理、余弦定理

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课后限时集训(三十)　正弦定理、余弦定理
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一、选择题
1．(2020·大连测试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　)
A． B．±
C．－ D．
D　[由正弦定理得＝，∴sin C＝＝＝.又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cos C＝＝.故选D.]
2．(2020·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)
A．2 B．2
C．2 D．
B　[由S＝absin C＝2a×＝2，解得a＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2.]
3．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是(　　)
A．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C
B．若A＞B＞C，则sin A＞sin B＞sin C
C．acos B＋bcos A＝c
D．若a2＋b2＞c2，则△ABC是锐角三角形
ABC　[对于A，由于a＞b＞c，由正弦定理＝＝，可得sin A＞sin B＞sin C，故A正确；
对于B，A＞B＞C，由大边对大角可知，a＞b＞c，由正弦定理＝＝，可得sin A＞sin B＞sin C，故B正确；
对于C，根据正弦定理可得acos B＋bcos A＝2R(sin Acos B＋sin Bcos A)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c(其中R为△ABC的外接圆半径)，故C正确；
对于D，a2＋b2＞c2，由余弦定理可得cos C＝＞0，由C∈(0，π)，可得C是锐角，但A或B可能为钝角，故D错误．]
4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)
A． B．
C． D．
A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A.]
5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则(　　)
A．若2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝
B．若2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝
C．若边BC的高为a，则当＋取得最大值时，A＝
D．若边BC的高为a，则当＋取得最大值时，A＝
AC　[因为在△ABC中，0＜C＜π，所以sin C≠0.对于A，B，利用正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，整理得2cos Csin(A＋B)＝sin C，即2cos Csin[π－(A＋B)]＝sin C，即2cos Csin C＝sin C，又sin C≠0，所以cos C＝，所以C＝，故A正确，B错误．对于C，D，由等面积法得×a2＝bcsin A，所以a2＝2bcsin A，又b2＋c2＝a2＋2bccos A＝2bcsin A＋2bccos A，则＋＝＝2sin A＋2cos A＝4sin≤4，当且仅当A＋＝＋2kπ，k∈Z，即A＝＋2kπ，k∈Z时，＋取得最大值4，又0＜A＜π，所以A＝.故C正确，D错误．]
6．(多选)(2020·山东烟台期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　)
A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为
ACD　[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，
所以可设(其中x＞0)，解得
所以由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，所以A正确．
由上可知边a最短，边c最长，所以角A最小，角C最大．
又cos A＝＝＝，cos C＝＝＝，
所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos 2A＝cos C，
由三角形中角C最大且角C为锐角，可得△ABC是锐角三角形，且2A∈(0，π)，C∈，
所以2A＝C，所以B错误，C正确．
设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R＝，
又sin C＝＝，
所以2R＝，解得R＝，所以D正确．故选ACD.]
二、填空题
7．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.
1　[由a＝c得sin A＝sin C，即sin ＝sin C，
∴sin C＝，又0＜C＜，∴C＝，
从而B＝，∴b＝c，因此＝1.]
8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.
　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]
9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝________，△ABC的面积为________．
　　[依题意得cos A＝＝，所以sin A＝＝，所以△ABC的面积为bcsin A＝.]
三、解答题
10．[结构不良试题](2020·北京西城区统一测试)已知△ABC满足________，且b＝，A＝，求sin C的值及△ABC的面积．
从①B＝，②a＝，③a＝3sin B这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．
[解]　当选择条件①时，
∵B＝，A＝，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝.
由正弦定理＝，得＝，解得a＝3，
∴S△ABC＝absin C＝.
当选择条件②时，
∵a＜b，∴A＜B，又A为钝角，∴无解．
当选择条件③时，
由题意得B为锐角．
由正弦定理＝，得＝，得sin B＝，
∴a＝3，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝.
∴S△ABC＝absin C＝.
11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
[解]　(1)由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0.所以2＝0，cos A＝.
由于0<A<π，故A＝.
(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A.
由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin .
即sin B－cos B＝，sin＝.
由于0<B<，故B＝.
从而△ABC是直角三角形．

1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C，则△ABC的最大边长为(　　)
A．2 B．3
C． D．2
C　[由cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C得1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C＝1＋sin Asin C，即－sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin C，
由正弦定理得b2－a2－c2＝ac，即c2＋a2－b2＝－ac，
则cos B＝＝＝－，则B＝150°，即最大值的边为b，
∵△ABC的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R，∴πR2＝3π，得R＝，
则＝2R＝2，即b＝2sin B＝2×＝，故选C.]
2．(2020·广西桂林模拟)在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
D　[由已知＝＝＝，
所以＝或＝0，即C＝90°或＝，
由正弦定理，得sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B，
因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，
所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
[解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，
得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，
又0＜A＜π，∴A＝.
由sin Asin B＝cos2，
得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，
则cos C＜0，即C为钝角，
∴B为锐角，且B＋C＝，
则sin＝1＋cos C，
化简得cos＝－1，
解得C＝，∴B＝.
(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，
由余弦定理得AM2＝b2＋2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，
解得b＝2，
故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.

1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C，且sin A＋sin C＝1，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．顶角为150°的等腰三角形
D．顶角为120°的等腰三角形
D　[∵cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C，
∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)＝1＋sin Asin C，
∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sin Asin C，
∴根据正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，
∴由余弦定理得cos B＝＝＝－，
∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，
∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sin Asin C.
∴变形得＝(sin A＋sin C)2－sin Asin C，
又∵sin A＋sin C＝1，得sin Asin C＝，
∴上述两式联立得sin A＝sin C＝，
∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，
∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故选D.]
2．[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
[解]　选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11.
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝－，
解得a＝8.
(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴sin C＝＝＝.
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6.
若选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11.
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，
∴sin A＝，sin B＝.
在△ABC中，由正弦定理，可得＝，
∴＝＝＝.
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝＝.
∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝.