2022高考数学一轮复习-第九章-解析几何-9.3-圆的方程学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.3 圆的方程学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.3 圆的方程学案北师大版

年级：
姓名：

9.3　圆的方程
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.圆的定义及方程

定义
平面上到　　　　的距离等于　　　　的点的集合(轨迹)叫作圆 
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心:　　 
半径:　　 
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆心:-D2,-E2
半径:　　　　 

注意:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点M(x0,y0),
(1)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2⇔点M在圆上; 
(2)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2⇔点M在圆外; 
(3)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2⇔点M在圆内. 

以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(公式推导:设圆上任一点P(x,y),则有kPA·kPB=-1,由斜率公式代入整理即可).

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.(　　)
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.(　　)
(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-a2,-a,半径为12-3a2-4a+4的圆.(　　)

(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(　　)
(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.(　　)
2.已知圆C经过点A(1,5),且圆心为C(-2,1),则圆C的方程为(　　)
A.(x-2)2+(y+1)2=5 B.(x+2)2+(y-1)2=5
C.(x-2)2+(y+1)2=25 D.(x+2)2+(y-1)2=25
3.(2020山东聊城模拟)圆x2+y2-6x-2y+3=0的圆心到直线x+ay-1=0的距离为1,则a=(　　)
A.-43 B.-34 C.3 D.2
4.(2020山东青岛实验高中测试)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(　　)
A.a<-2 B.-23<a<0
C.-2<a<0 D.-2<a<23
5.已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△ABO外接圆的方程是　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
求圆的方程

【例1】(1)(2020山东青岛实验高中测试)圆心为(2,-1)的圆,在直线x-y-1=0上截得的弦长为22,那么这个圆的方程为(　　)

A.(x-2)2+(y+1)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=2
C.(x+2)2+(y-1)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=2
(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为6,则圆C的方程为　　　　　. 
思考求圆的方程有哪些常见方法?
解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.
对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,过A(4,4),B(4,0),C(0,4)三点的圆被x轴截得的弦长为(　　)

A.4 B.42 C.2 D.22
(2)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为27,则该圆的方程为　　　　　　　　　　. 

考点
与圆有关的轨迹问题

【例2】点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?
解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.
对点训练2古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为(　　)
A.π B.2π C.3π D.4π

考点
与圆有关的最值问题(多考向探究)

考向1　借助目标函数的几何意义求最值
【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值;
(2)求n-3m+2的最大值和最小值.

解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.
(1)形如u=y-bx-a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为　　　　　和　　　　　. 
考向2　借助圆的几何性质求最值
【例4】已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　　. 
思考如何求解折线段和长的最值问题?
解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:
(1)减少动点的个数;
(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为　　　　　. 
考向3　建立函数关系求最值
【例5】(2020江苏,14)在平面直角坐标系xOy中,已知P32,0,A,B是圆C:x2+y-122=36上的两个动点,满足PA=PB,则△PAB面积的最大值是　　　　. 
解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.
对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA+PB|的最大值为　　　　　. 

求半径常有以下方法:
(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;
(2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.

1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.
2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.
3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.

9.3　圆的方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.定点　定长　(a,b)　r　D2+E2-4F2
2.(1)=　(2)>　(3)<
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.D　因为圆C经过A(1,5),且圆心为C(-2,1),所以圆C的半径为r=(-2-1)2+(1-5)2=5,则圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=25.故选D.
3.B　由题意,圆x2+y2-6x-2y+3=0,即(x-3)2+(y-1)2=7.圆心(3,1)到直线x+ay-1=0的距离d=|2+a|1+a2=1,所以a=-34.
4.D　方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,所以a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,所以3a2+4a-4<0,所以(a+2)(3a-2)<0,即-2<a<23.
5.(x-1)2+(y-2)2=5　方法1　由题知OA⊥OB,故△ABO外接圆的圆心为AB的中点(1,2),半径为12|AB|=5,所以△ABO外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
方法2　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为过A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,所以4+2D+F=0,16+4E+F=0,F=0,解得D=-2,E=-4,F=0,则△ABO外接圆的方程是x2+y2-2x-4y=0,即△ABO外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)(x-1)2+(y+1)2=2
(1)因为圆心(2,-1)到直线x-y-1=0的距离d=|2+1-1|2=2,弦长为22,所以圆的半径r=(2)2+2222=2,则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
(2)由圆C的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a,-a),又圆C与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=2a-32,圆C被直线x-y-3=0截得的弦长为6,所以d2+622=r2,即(2a-3)22+32=2a2,解得a=1,所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
对点训练1(1)A　(2)x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0　(1)根据题意,设过A,B,C三点的圆为圆M,其方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,又由A(4,4),B(4,0),C(0,4),则有
32+4D+4E+F=0,16+4D+F=0,16+4E+F=0,解得D=-4,E=-4,F=0,即圆M的方程为x2+y2-4x-4y=0,令y=0可得x2-4x=0,解得x1=0,x2=4,即圆与x轴的交点的坐标为(0,0),(4,0),则圆被x轴截得的弦长为4.故选A.
(2)方法1　∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
∴设所求圆的圆心为(3a,a),
又所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|,
又所求圆在直线y=x上截得的弦长为27,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=|2a|2,∴d2+(7)2=r2,即2a2+7=9a2,∴a=±1.
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.
方法2　设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则圆心(a,b)到直线y=x的距离为|a-b|2,∴r2=(a-b)22+7,即2r2=(a-b)2+14.①
∵所求圆与y轴相切,∴r2=a2,②
∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
∴a-3b=0,③
联立①②③,解得a=3,b=1,r2=9或a=-3,b=-1,r2=9.
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.
方法3　设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D2,-E2,半径r=12D2+E2-4F.
在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0.
由于所求圆与y轴相切,∴Δ=0,则E2=4F.①
圆心-D2,-E2到直线y=x的距离d=|-D2+E2|2,
由已知得d2+(7)2=r2,
即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).②
又圆心-D2,-E2在直线x-3y=0上,∴D-3E=0.③
联立①②③,解得D=-6,E=-2,F=1或D=6,E=2,F=1.
故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.
例2A　设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ中点为M(x,y),根据中点坐标公式,得x0=2x-4,y0=2y+2,因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化为(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.
对点训练2D　以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则B(3,0).设M(x,y),依题意有x2+y2(x-3)2+y2=2,化简整理得x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则圆的面积为4π.故选D.
例3解(1)(方法1)依题意,圆心C(2,7),半径r=22.
设m+2n=t,则点M(m,n)为直线x+2y=t与圆C的公共点,所以圆心C到该直线的距离d=|2+2×7-t|12+22≤22,
解得16-210≤t≤16+210.
所以m+2n的最大值为16+210.
(方法2)由x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.
因为点M(m,n)为圆C上任意一点,
所以可设m-2=22cosθ,n-7=22sinθ,(θ为参数)
即m=2+22cosθ,n=7+22sinθ,(θ为参数)
所以m+2n=2+22cosθ+2(7+22sinθ)=16+22cosθ+42sinθ
=16+210sin(θ+φ),其中tanφ=12.
因为-1≤sin(θ+φ)≤1,
所以m+2n的最大值为16+210.
(2)设点Q(-2,3).
则直线MQ的斜率k=n-3m+2.
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0.
由直线MQ与圆C有公共点,
得|2k-7+2k+3|k2+1≤22,
解得2-3≤k≤2+3,
即2-3≤n-3m+2≤2+3.所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.
对点训练34+73　4-73　由题意,得y+1x表示过点A(0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则|2k-2|k2+1=1,解得k=4±73.所以zmax=4+73,zmin=4-73.
例425　依题意,圆心C(2,1),半径r=5.
设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,n),
则m+02+n+22+2=0,n-2m-0=1,解得m=-4,n=-2,
故A'(-4,-2).连接A'C交直线x+y+2=0于点P,交圆C于点Q(图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=25.
对点训练4112　

依题意,圆心C(0,1),半径r=1.
如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,连接BP,AP,此时△ABP的面积最小.因为直线AB的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C到直线AB的距离d=165.
又|AB|=32+42=5,所以△ABP的面积的最小值为12×5×165-1=112.
例5105　本题考查圆与直线的位置关系.
如图,由已知,得C0,12,CP=1,AB⊥CP.

设过点P的直径为EF,AB与EF相交于点D,设CD=d.
(1)当点D与P在圆心C的异侧时,
S△PAB=12×236-d2×(1+d)
=(36-d2)(1+d)2(0≤d<6).
设f(d)=(36-d2)(1+d)2,
则f'(d)=-2d(d+1)2+2(36-d2)(d+1)=-2(d+1)(d-4)(2d+9).
所以f(d)在区间[0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减,
所以当d=4时,f(d)取得最大值f(4)=500,此时,S△PAB=105.
(2)当点D与P在圆心C的同侧时,①当点D在点C,P之间时,△PAB的高为1-d;
②当点D在CP的延长线上时,△PAB的高为d-1.
根据圆的对称性,
当AB与(1)中相等时,相应的高都小于(1)中AB对应的高,所以相应△PAB的面积也小.
综上,△PAB面积的最大值是105.
对点训练510　由题意,知PA=(-x,2-y),PB=(-x,-2-y),所以PA+PB=(-2x,-2y),所以|PA+PB|=2x2+y2.因为点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的点,所以(x-3)2+y2=4,1≤x≤5,所以y2=-(x-3)2+4,所以|PA+PB|=2x2-(x-3)2+4=26x-5.因为1≤x≤5,所以当x=5时,|PA+PB|的值最大,最大值为26×5-5=10.