2022版高考数学一轮复习-练案第六章-不等式-第四讲-基本不等式练习新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 练案第六章 不等式 第四讲 基本不等式练习新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案第六章 不等式 第四讲 基本不等式练习新人教版

年级：
姓名：

第四讲　基本不等式
A组基础巩固
一、选择题
1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　D　)
A．a＋b≥2　　 B．＋≥2
C．≤2　　 D．a2＋b2≥2ab
[解析]　因为和同号，所以＝＋≥2.∵(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，故选C、D．
2．(2020·北京东城区一模)已知函数f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)(　A　)
A．有最大值　　 B．有最小值
C．是增函数　　 D．是减函数
[解析]　∵x<0，∴f(x)＝x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号，∴f(x)有最大值．由对勾函数的性质可知f(x)在(－∞，0)上不是单调函数．故选A．
3．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　C　)
A．　　 B．　　　
C．2　　 D．
[解析]　由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，
则12xy＋3xy≤30，即xy≤2，故xy的最大值为2.
4．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为(　A　)
A．4　　 B．4　　　
C．2　　 D．2
[解析]　∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4，故选A．
5．(理)下列命题中正确的是(　D　)
A．函数y＝sin x＋(0<x<π)的最大值为4
B．函数y＝的最大值为
C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4
(文)(2020·沈阳模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　D　)
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
[解析]　(理)A．sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．因为≥，所以取不到“＝”，设＝t(t≥)，y＝t＋在[，＋∞)上为增函数，最小值为，故B不正确；因为x>0时，3x＋≥2·＝4，当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”，所以y＝2－有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．故选D．
(文)对于选项A，当x>0时，y＝x＋≥2＝2；当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不合题意．对于选项B．由于0<x<，因此0<sin x<1，函数的最小值取不到2.故B不合题意．对于选项C，函数的关系式转化为y＝＝＋≥，故C不合题意．故选D．
6．(2020·辽宁铁岭六校联考协作体联考)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　B　)
A．R<P<Q　　 B．P<Q<R
C．Q<P<R　　 D．P<R<Q
[解析]　由于函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，
又a>b>1，则lg a>lg b>0，
由基本不等式可得
P＝<(lg a＋lg b)
＝lg (ab)＝lg <lg ＝R
因此，P<Q<R，故选B．
7．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　B　)
A．3　　 B．4　　　
C．5　　 D．6
[解析]　由题意知ab＝1，则m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，故m＋n＝2(a＋b)≥4＝4(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)．
8．(2020·山西大同联考)已知正实数m，n满足＋＝4，则m＋n的最小值是(　D　)
A．4　　 B．2　　　
C．9　　 D．
[解析]　由题意知m＋n＝(m＋n)＝
≥＝，
(当且仅当m＝，n＝时取等号)
∴m＋n的最小值为，故选D．
9．(2021·安徽黄山质检)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是(　D　)
A．2　　 B．3　　　
C．4　　 D．5
[解析]　由题意知，
f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，
因为x>0，所以x＋1>0，
则x＋1＋＋1≥2＋1＝5，
(当且仅当x＋1＝，即x＝1时取“＝”)
故f(x)的最小值是5.
10．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　B　)
A．1　　 B．3　　　
C．6　　 D．12
[解析]　∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号，故选B．
二、填空题
11．(2021·广东惠州调研)已知x>，则函数y＝4x＋的最小值为__7__.
[解析]　∵x>，∴4x－5>0，
∴y＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7，
当且仅当4x－5＝即x＝时取等号，
∴y的最小值为7.
12．(2021·湖南模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产品__80__件．
[解析]　由题意知平均每件产品的生产准备费用是元，则＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，所以每批应生产产品80件．
13．已知x>0，y>0，x＋2y＝3，则的最小值为　　.
[解析]　∵x>0，y>0，x＋2y＝3，
∴＝＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，
当且仅当＝＝，
即x＝y时，等号成立．故答案为：.
14．(2021·湖北部分重点中学联考)已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是__(－4,2)__．
[解析]　∵x>0，y>0，
∴＋≥2＝8
(当且仅当y＝2x时取等号)
∴＋的最小值为8，
由题意可知m2＋2m－8<0，解得－4<m<2，
即m的取值范围是(－4,2)．
B组能力提升
1．(理)(2020·长沙模拟)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　B　)
A．2　　 B．4　　　
C．6　　 D．8
(文)(2020·济宁期末)已知a>0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为(　A　)
A．16　　 B．9　　　
C．5　　 D．4
[解析]　(理)解法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选B．
解法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B．
(文)∵，，成等差数列，∴＋＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立，故选A．
2．(2021·山东新泰一中质检)已知△ABC的面积是9，角A，B，C成等差数列，其对应边分别是a，b，c，则a＋c的最小值是(　A　)
A．12　　 B．12　　　
C．10　　 D．10
[解析]　由题意知B＝，∴acsin B＝9，
∴ac＝36，∴a＋c≥2＝12，
(当且仅当a＝c＝6时取等号)
∴a＋c的最小值为12，故选A．
3．(2020·山东济宁期末)已知函数f(x)＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋4＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为(　B　)
A．　　 B．　　　
C．2　　 D．4
[解析]　由题意知A(－2，－1)，∴2m＋n＝4，
∴2(m＋1)＋n＝6，
∴＋＝[2(m＋1)＋n]
＝
≥＝，
当且仅当n＝2(m＋1)，即m＝，n＝3时取等号，
∴＋的最小值为，故选B．
4．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的取值范围为__(－∞，12]__．
[解析]　因为a>0，b>0，所以m≤min.又因为(a＋3b)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当＝，即a＝3b时，等号成立，所以m≤12，所以m的取值范围为(－∞，12]．
5．(2021·河南九师联盟联考)2018年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3 000万元，生产x(百辆)，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)
(2)2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
[解析]　(1)当0<x<50时，
L(x)＝6×100x－10x2－200x－3 000
＝－10x2＋400x－3 000；
当x≥50时，
L(x)＝6×100x－601x－[phone]
＝6 000－.
∴L(x)＝
(2)当0<x<50时，L(x)＝－10(x－20)2＋1 000.
∴当x＝20时，L(x)max＝L(20)＝1 000；
当x≥50时，L(x)＝6 000－
≤6 000－2＝6 000－200＝5 800，
当且仅当x＝，即x＝100时，
L(x)max＝L(100)＝5 800>1 000.
∴当x＝100，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为5 800万元．