2022版高考数学一轮复习-第三章-三角函数、解三角形-第二讲-同角三角函数的基本关系式与诱导公式学.doc

2022版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案新人教版

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第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

知识梳理·双基自测

知识点一　同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：__sin2x＋cos2x＝1__.
(2)商数关系：__＝tan x__.
知识点二　三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
__－sin α__
__－sin α__
__sin α__
__cos α__
__cos α__
余弦
cos α
__－cos α__
__cos α__
__－cos α__
__sin α__
__－sin α__
正切
tan α
__tan α__
__－tan α__
__－tan α__

1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x＝tan x·cos x，tan2x＋1＝，(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x等．
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·＋α(k∈Z)所在的象限．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)
(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)
(4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　)
[解析]　(1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k为奇数和偶数时，sin α的值不同．
题组二　走进教材
2．(必修4P22B组T3改编)已知tan α＝，则＝(　A　)
A．－ B．
C．－7 D．7
[解析]　＝＝＝－.故选A．
3．(必修4P22B组T2改编)化简cos α＋sin α得(　A　)
A．sin α＋cos α－2 B．2－sin α－cos α
C．sin α－cos α D．cos α－sin α
[解析]　原式＝cos α＋sin α，
∵π<α<π，∴cos α<0，sin α<0.
∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.
4．(必修4P29B组T2改编)若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝____，cos＝____.
[解析]　由sin(π＋α)＝－，得sin α＝，
则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝，
cos＝cos＝cos
＝cos＝sin α＝.
题组三　走向高考
5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝(　D　)
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
[解析]　由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝＝2＋，故选D．
另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝，∴选D．
6．(2015·福建)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　D　)
A． B．－
C． D．－
[解析]　因为sin α＝－，且α为第四象限角，
所以cos α＝，所以tan α＝－，故选D．
7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　A　)
A．－ B．－
C． D．
[解析]　将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝－，故选A．

考点突破·互动探究
考点一　同角三角函数的基本关系式——师生共研
例1 (1)已知α是第三象限角，cos α＝－，则tan α＝(　D　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为__－__.
(3)若角α的终边落在第三象限，则＋的值为__－3__.
[解析]　(1)因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－＝－，
故tan α＝＝.选D．
(2)由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cos α<0，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
(3)由角α的终边落在第三象限，
得sin α<0，cos α<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.

名师点拨
(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．
(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：
＝；sin αcos α＝
＝＝；
sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝
＝.
〔变式训练1〕
(1)若α是第二象限角，tan α＝－，则sin α＝(　C　)
A． B．－
C． D．－
(2)已知α是第二象限角，化简＝____.
(3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝____.
[解析]　(1)∵tan α＝－，∴＝－.
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋2＝1，∴sin α＝±.
又α为第二象限角，∴sin α＝，故选C．
(2)解法一：原式＝
＝
＝
＝＝.
解法二：∵1－cos4α－sin4α＝1－(cos2α＋sin2α)2＋2sin2αcos2α＝2sin2αcos2α，
∴原式＝
＝
＝＝.
(3)由tan α＝2得sin α＝2cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.
因为α∈，所以cos α＝，sin α＝.
因为cos＝cos αcos ＋sin αsin ，
所以cos＝×＋×＝.
考点二　诱导公式及其应用——多维探究
角度1　利用诱导公式化简三角函数式
例2 (1)化简：
＝__－__.
(2)化简＝__－1__.
[解析]　(1)原式＝
＝＝－.
(2)∵cos 10°>sin 10°，∴原式＝＝＝＝＝－1.
角度2　“换元法”的应用
例3 已知cos＝a，则cos＋sin的值是__0__.
[解析]　因为cos＝cos [π－
＝－cos＝－a.sin
＝sin ＝cos＝a，
所以cos＋sin＝0.

名师点拨
(1)诱导公式的两个应用方向与原则：
①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，互补关系有＋α与－α；＋α与－α等．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)已知f(α)＝.
①化简f(α)；
②若α是第三象限的角，且cos＝，求f(α)的值．
(2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin＝，则sin＝__－__，cos＝____.
[解析]　(1)①f(α)＝
＝
＝－cos α.
②因为cos＝－sin α，所以sin α＝－.
又α是第三角限的角，
所以cos α＝－＝－.
所以f(α)＝.
(2)sin＝cos ＝cos，
因为α为钝角，
所以π<＋α<π，
所以cos<0.
所以cos＝－＝－.
cos＝sin
＝sin＝.

名师讲坛·素养提升
sin x＋cos x、sin x－cos x、sin xcos x之间的关系
例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝__－__.
[解析]　解法一：因为sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
sin θcos θ＝－.
由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.
所以sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝＝－.
解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－，
所以＝－，弦化切，得 ＝－，解得tan θ＝－或tan θ＝－.
又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0.
∴θ∈，且sin θ>|cos θ|，
∴＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－.
解法三：解方程组
得或(舍去)
故tan θ＝－.

名师点拨
sin x＋cos x、sin x－cos x、sin xcos x之间的关系为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x，(sin x＋cos x)2＋(sin x－cos x)2＝2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
〔变式训练3〕
(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则的值为(　C　)
A． B．
C． D．
(2)若＋＝，则sin αcos α＝(　A　)
A．－ B．
C．－或1 D．或－1
[解析]　(1)解法一：∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，∴sin αcos α＝－，
又α∈，∴sin α<0，cos α>0，
∴cos α－sin α＝＝＝.
∴＝＝，故选C．
解法二：由解法一知得
∴tan α＝＝－.
∴＝＝
＝＝，故选C．
(2)由＋＝，可得sin α＋cos α＝sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin2αcos2α，解得sin αcos α＝－或sin αcos α＝1.
由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A．