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2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 12 幂函数与二次函数

2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 12 幂函数与二次函数

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课后限时集训(十二)　幂函数与二次函数
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一、选择题
1．(多选)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3,27)，则幂函数f(x)是(　　)
A．奇函数　　　 B．偶函数
C．增函数 D．减函数
AC　[设幂函数为f(x)＝xa(a为常数)，因为其图象经过点(3,27)，所以27＝3a，解得a＝3，所以幂函数f(x)＝x3.因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又a＝3＞0，所以f(x)在R上是增函数．故选AC.]
2.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d＞c＞b＞a
B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b
D．a＞b＞d＞c
B　[幂函数的图象在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B.]
3．设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为(　　)
A．x＜z＜y B．y＜x＜z
C．y＜z＜x D．z＜y＜x
A　[由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y＞z.由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x＜z.所以x＜z＜y.]
4．(多选)(2020·广东深圳模拟改编)已知幂函数g(x)＝(2a－1)xa＋1的图象过函数f(x)＝mx－b－(m＞0，且m≠1)的图象所经过的定点，则b的值可以为(　　)
A．　 B．　　　
C．－　 D．－
BC　[由于g(x)＝(2a－1)xa＋1为幂函数，则2a－1＝1，解得a＝1，所以g(x)＝x2.函数f(x)＝mx－b－(m＞0，且m≠1)，当x＝b时，f(b)＝mb－b－＝，故f(x)的图象所经过的定点坐标为，所以g(b)＝，所以b2＝，解得b＝±.故选BC.]
5．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则(　　)
A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0
C．a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝0
A　[由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先减后增，于是a＞0，故选A.]
6．二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意的x∈R都有f(x)＝f(4－x)成立，若f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－2,0) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C　[由题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，图象在对称轴左侧对应的函数为减函数．
又1－2x2＜2,1＋2x－x2＝2－(x－1)2≤2，所以由f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，得1－2x2＞1＋2x－x2，解得－2＜x＜0.故选C.]
二、填空题
7．已知二次函数f(x)的图象经过点(2，－6)，方程f(x)＝0的解集是
{－1,4}，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝x2－3x－4　[因为f(x)是二次函数，且方程f(x)＝0的解集是{－1,4}，
即f(x)的图象过点(－1,0)和(4,0)，
所以可设f(x)＝a(x＋1)(x－4)(a≠0)．
又因为f(x)的图象经过点(2，－6)，
所以(2＋1)×(2－4)a＝－6，即a＝1.
故f(x)＝(x＋1)(x－4)＝x2－3x－4.]
8．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－8)x(m∈R)是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f(x2＋1)＜f(a)恒成立，则实数a的取值范围是________．
(－∞，1)　[由f(－x)＝－f(x)得(m－2)x2－(m－8)x＝－(m－2)x2－(m－8)x，
则m－2＝0，即m＝2，∴f(x)＝－6x，f(x)是R上的奇函数，且为减函数，由f(x2＋1)＜f(a)恒成立得x2＋1＞a恒成立．又当x∈R时，x2＋1≥1，所以a＜1.]
9．若关于x的方程x2－x－m＝0在[－1,1]上有解，则实数m的取值范围是________．
　[法一：由x2－x－m＝0得m＝x2－x，
设f(x)＝x2－x，
则f(x)＝2－，
当x∈[－1,1]时，f(x)min＝－，
f(x)max＝f(－1)＝2，即－≤f(x)≤2，∴－≤m≤2.
法二：设f(x)＝x2－x－m，
则f(x)＝2－m－，
因为方程f(x)＝0在[－1,1]上有解，则
解得－≤m≤2.]
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴为x＝－∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f ＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴函数f(x)的值域为.
(2)∵函数f(x)图象的对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
11．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
[解]　(1)∵f(x)是二次函数，且f(0)＝f(2)，
∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1.
又f(x)的最小值为1，
故可设f(x)＝A(x－1)2＋1(A≠0)．
∵f(0)＝3，∴A＋1＝3，解得A＝2，
∴f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)要使f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，
则2a＜1＜a＋1，
解得0＜a＜.
(3)由已知得2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1在[－1,1]上恒成立，
化简得m＜x2－3x＋1.
设g(x)＝x2－3x＋1，
则g(x)在区间[－1,1]上单调递减，
∴g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1，
∴m＜－1.

1．(多选)(2020·天津北辰区一诊改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则下列选项正确的是(　　)
A．函数f(x)的值域为[－4，＋∞)
B．f(x)的零点有4个
C．不等式f(x＋2)＜5的解集为(－7,3)
D．方程|f(x)|＝4的根有4个
ACD　[对于A，由于函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，当x≥0时，f(x)＝x2－4x≥－4，故函数f(x)的值域为[－4，＋∞)，A正确；对于B，当x≥0时，由f(x)＝x2－4x＝0，得x＝0或x＝4.由于函数f(x)为偶函数，故f(x)还有一个零点x＝－4，f(x)的零点有3个，故选项B错误；对于C，当x≥0时，由f(x)＝x2－4x＜5，得0≤x＜5；当x＜0时，根据偶函数图象的对称性知不等式f(x)＜5的解集为{x|－5＜x＜0}，所以不等式f(x)＜5的解集为{x|－5＜x＜5}，所以不等式f(x＋2)＜5的解集为{x|－5＜x＋2＜5}＝{x|－7＜x＜3}，故C正确；作出函数y＝|f(x)|的图象(图略)，易得方程|f(x)|＝4的根有4个，D正确．故选ACD.]
2．(多选)若函数f(x)＝(x－1)|x＋a|在区间(1,2)上单调递增，则满足条件的实数a的值可能是(　　)
A．0 B．2
C．－2 D．－3
ABD　[根据题意可知f(x)＝
对于y＝x2＋(a－1)x－a及y＝－x2－(a－1)x＋a，其图象的对称轴均为直线x＝.当≥－a，即a≥－1时，作出f(x)的大致图象(为方便说明，略去y轴以及坐标原点)如图1所示，

图1
由图可知，此时要满足题意，只需－a≥2或≤1，解得a≤－2或a≥－1，故a≥－1；当＜－a，即a＜－1时，作出f(x)的大致图象(为方便说明，略去y轴以及坐标原点)如图2所示，

图2
由图可知，此时要满足题意，只需－a≤1或≥2，解得a≥－1或a≤－3，故a≤－3.综上所述，a≥－1或a≤－3.结合选项可知，选ABD.]
3．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.
(1)求f(x)的表达式；
(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]上的最大值为f(2)，最小值f(－1)，求实数k的取值范围．
[解]　(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，
由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，
x1x2＝1＋，
所以|x1－x2|＝＝＝2，
解得a＝1，
所以f(x)＝x2＋2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]上单调递增，
又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.
所以g(x)图象的对称轴为x＝，则≤－1，解得k≤0，故实数k的取值范围为(－∞，0].