2022届高考数学一轮复习-课后限时集训三角函数的图像与性质北师大版.doc

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训三角函数的图像与性质北师大版

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训三角函数的图像与性质北师大版

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姓名：

课后限时集训(二十九)三角函数的图像与性质
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一、选择题
1．函数y＝的定义域是(　　)

D　[由题意知2cos 2x＋1≥0，即cos 2x≥－.
∴2kπ－π≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故选D.]
2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2 B.
C．1 D.
A　[由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
故选A.]
3．下列函数中最小正周期为π，且在上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝|sin 2x| B．f(x)＝tan|x|
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝cos|2x|
C　[函数f(x)＝tan|x|不是周期函数，因此排除B.
函数f(x)＝|sin 2x|在上不是单调函数，故排除A.
函数f(x)＝cos|2x|在上是减函数，故排除D，
综上知选C.]
4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
D　[y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.]
5．(2020·成都模拟)已知函数f(x)＝sin(0＜ω＜π)，f＝0，则函数f(x)的图像的对称轴方程为(　　)
A．x＝kπ－，k∈Z B．x＝kπ＋，k∈Z
C．x＝kπ，k∈Z D．x＝kπ＋，k∈Z
C　[f(x)＝sin＝cos ωx，
则f ＝cos＝0，
∵0＜ω＜π，
∴ω＝，解得ω＝2，
即f(x)＝cos 2x.
由2x＝kπ，k∈Z得x＝kπ，k∈Z，故选C.]
6．已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当x＝时取最大值，当x＝－时取最小值，则φ的值可能为(　　)
A. B.
C. D.
C　[T＝＝2＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可能为.故选C.]
二、填空题
7．函数y＝cos的单调递减区间为________．
(k∈Z)　[因为y＝cos＝cos，
所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．]
8．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
　[由题意知ω＝，解得ω＝.]
9．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan θ等于________．
－　[f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2sin＝－2sin，
因为函数f(x)为奇函数，
则有－－θ＝kπ，k∈Z，
即θ＝－kπ－，k∈Z，
故tan θ＝tan＝－.]

三、解答题
10．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝时，f(x)的最大值为2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由T＝2知＝2得ω＝π.
又当x＝时f(x)max＝2，知A＝2.
且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)＝2sin＝2sin.
(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝k＋(k∈Z)．
由≤k＋≤.得≤k≤，又k∈Z，∴k＝5.
故在上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.
11．已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求函数y＝f(x)图像的对称轴方程；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
[解]　(1)f(x)＝a·b＋
＝(sin x，cos x)·(cos x，－cos x)＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋π(k∈Z)，
即函数y＝f(x)图像的对称轴方程为x＝＋π(k∈Z)．
(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝对称，
则x1＋x2＝，
∴cos(x1－x2)＝cos
＝cos＝cos
＝sin＝f(x1)＝.

1．(2020·莆田模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像关于直线x＝对称，且f ＝0，当ω取最小值时，φ＝(　　)
A. B.
C. D.
D　[当ω取最小值时，T＝4＝π，
即＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
又f ＝sin＝0，
∴φ＋π＝kπ，k∈Z.
即φ＝kπ－，k∈Z，
又0＜φ＜π，
∴φ＝，故选D.]
2．(2020·朝阳区二模)已知函数f(x)＝sin，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)的图像关于中心对称
B．函数f(x)的图像关于直线x＝－对称
C．函数f(x)在区间(－π，π)内有4个零点
D．函数f(x)在区间上单调递增
C　[对于函数f(x)＝sin，令x＝，求得f(x)＝，故函数f(x)的图像不关于中心对称，故排除A；
令x＝－，求得f(x)＝sin，不是最值，故函数f(x)的图像不关于直线x＝－对称，故排除B；
在区间(－π，π)上，2x－∈，当2x－＝－2π，－π，0，π时，f(x)＝0，故函数f(x)在区间(－π，π)内有4个零点，故C正确；
在区间上，2x－∈，f(x)没有单调性，故D错误，故选C.]
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (0＜ω＜1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称．
(1)求φ，ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)x∈，求f(x)的最大值与最小值．
[解]　(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝，即f(x)＝cos ωx.
因为图像关于点M对称，
所以ω×＝＋kπ，k∈Z，且0＜ω＜1，所以ω＝.
(2)由(1)得f(x)＝cos x，
由－π＋2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的递增区间是，k∈Z.
(3)因为x∈，所以x∈，
当x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1，
当x＝－时，即x＝－，函数f(x)的最小值为0.

1．已知函数f(x)＝sin x＋cos x在x＝θ时取得最大值，则cos＝
(　　)
A．－ B．－
C. D.
C　[法一：∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C.
法二：∵f(x)＝sin x＋cos x，
∴f′(x)＝cos x－sin x.
又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴f′(θ)＝cos θ－sin θ＝0，即tan θ＝，则cos＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝，故选C.]
2．已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
[解]　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.依题意知a≠0，
①当a＞0时，
∴a＝3－3，b＝5；
②当a＜0时，
∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.