2022高考数学一轮复习-高考大题专项突破2-利用导数研究与函数零点有关的问题学案北师大版.docx
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1、2022高考数学一轮复习 高考大题专项突破2 利用导数研究与函数零点有关的问题学案北师大版2022高考数学一轮复习 高考大题专项突破2 利用导数研究与函数零点有关的问题学案北师大版年级:姓名:突破2利用导数研究与函数零点有关的问题必备知识预案自诊知识梳理1.函数的零点、方程的根、曲线的交点,这三个问题本质上同属一个问题,它们之间可相互转化,这类问题的考查通常有两类:(1)讨论函数零点或方程实数根的个数;(2)由函数零点或方程的根的情况求参数的取值范围.2.利用导数研究函数零点的方法方法一:(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)根据函数f(x)的性质作出图像;(3)判断函数零点的个数.方法
2、二:(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)分类讨论,判断函数零点的个数.3.求解导数应用题宏观上的解题思想(1)借助导函数(正负)研究原函数(单调性),重点是把导函数“弄熟悉”;(2)为了把导函数“弄熟悉”采取的措施:通分;二次求导或三次求导;画出导函数草图.关键能力学案突破考点判断、证明或讨论函数零点个数【例1】设函数f(x)=(x-1)ex-k2x2(其中kR).(1)略;(2)当k0时,讨论函数f(x)的零点个数.解题心得有关函数的零点问题的解决方法主要是借助数形结合思想,利用导数研究函数的单调性和极值,利用函数的单调性模拟函数的图像,根据函数零点的个数的要求,控制极值点函数值的正
3、负,从而解不等式求出参数的取值范围.对点训练1(2020湖南湘潭三模,理21)设函数f(x)=ln x,g(x)=mx-m2x.(1)当m=-1时,求函数F(x)=f(x)+g(x)的零点个数;(2)若存在x01,+),使得f(x0)k(x-2)在x1时恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,请说明理由.指点迷津(一)在导数应用中如何构造函数在有关导数的应用中,无论是求函数的单调性、求极值最值,证明不等式、求参数的范围,还是讨论函数的零点,都需要从给定的已知条件中构造出一个或两个函数进行研究,构造的得当能降低难度,减少运算量,但有很多同学不知道如何构造,下面对如何构造函数给出归类和总结.1.
4、作差直接构造法【例1】函数f(x)=(x-2)ex+12ax2-ax.设a=1,当x0时,f(x)kx-2,求k的取值范围.分析由f(x)kx-2,令g(x)=f(x)-kx+2=(x-2)ex+12x2-x-kx+2.2.局部构造法【例2】已知函数f(x)=axlnxx-1.当a=1时,判断f(x)有没有极值点.分析当a=1时,f(x)=xlnxx-1,则f(x)=x-lnx-1(x-1)2,令g(x)=x-lnx-1.【例3】已知函数f(x)=ln(x-a)x.若a=-1,证明:函数f(x)是(0,+)上是减少的.分析当a=-1时,函数f(x)的定义域是(-1,0)(0,+),所以f(x)
5、=xx+1-ln(x+1)x2,令g(x)=xx+1-ln(x+1).3.作差局部构造法【例4】已知函数f(x)=ln x-a(x-1),aR.当x1时,f(x)lnxx+1恒成立,求a的取值.分析f(x)-lnxx+1=xlnx-a(x2-1)x+1,令g(x)=xlnx-a(x2-1)(x1).4.分离参数构造法【例5】在例4中,当x1时f(x)lnxx+1恒成立等价于ln x-lnxx+1a(x-1),(1)当x=1时,显然恒成立,aR.(2)当x1时,上式等价于lnxx-1-lnxx2-1alnxx-1-lnxx2-1maxa,令F(x)=lnxx-1-lnxx2-1.【例6】已知函数
6、f(x)=ax-lnxx,aR.若f(x)0,求a的取值范围.分析函数的定义域为(0,+),由f(x)0得ax-lnxx0,即alnxx2.令g(x)=lnxx2.5.特征构造法【例7】若x0,证明:ln(x+1)xxex-1.分析因为xex-1=lnexex-1=ln(ex-1+1)ex-1,故原不等式等价于ln(x+1)xln(ex-1+1)ex-1,令f(x)=ln(x+1)x,由例3知f(x)=ln(x+1)x是(0,+)上是减少的,故要证原不等式成立,只需证明:当x0时,xx1时,不等式f(x1)x2-f(x2)x10恒成立,求实数a的取值范围.分析不等式f(x1)x2-f(x2)x
7、10,即x1f(x1)-x2f(x2)x1x2x10可得x1f(x1)-x2f(x2)x1f(x1)恒成立,构造函数g(x)=xf(x)=ex-ax2.6.变形、化简后构造【例9】求证当x(0,+)时,lnex-1xx2.分析当x(0,+)时,要证lnex-1xx2,只需证ex-1xex2,令F(x)=ex-1-xex2,F(x)=ex2ex2-1-x2,由exx+1可得,ex21+x2,则x(0,+)时,F(x)0恒成立,即F(x)在(0,+)上递增,F(x)F(0)=0,即ex-1xex2,lnex-1xx2.7.换元后构造【例10】已知函数f(x)=ln x-kx,其中kR为常数.若f(
8、x)有两个相异零点x1,x2(x12.分析证lnx2-lnx1x2-x1(x2+x1)2,即证lnx2-lnx12(x2-x1)x2+x1,只要证lnx2x12(x2-x1)x2+x1.设t=x2x1(t1),则只要证lnt2(t-1)t+1(t1).令g(t)=lnt-2(t-1)t+1.8.放缩后局部构造【例11】已知函数f(x)=ax2+x-1ex.证明:当a1时,f(x)+e0.分析当a1时,f(x)+e=ax2+x-1ex+ex2+x-1ex+e=(x2+x-1+ex+1)e-x.设g(x)=x2+x-1+ex+1,则g(x)=2x+1+ex+1.9.作差与分离变量的综合构造法【例1
9、2】已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x(aR),g(x)=(1-a)x,若存在x1,e使得f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围.分析不等式f(x)g(x)在区间1,e上有解,即x2-2x+a(lnx-x)0在区间1,e上有解.因为当x1,e时,lnx1x(不同时取等号),x-lnx0,所以ax2-2xx-lnx在区间1,e上有解.令h(x)=x2-2xx-lnx.10.主元构造法主元构造法,就是将多变元函数中的某一个变元看作主元(即自变量),将其他变元看作常数,来构造函数,然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.【例13】已知函数g(x)=xln x,设0ab,
10、证明:0g(a)+g(b)-2ga+b2(b-a)ln 2.分析对g(x)=xlnx求导,g(x)=lnx+1.在g(a)+g(b)-2ga+b2中以b为主元构造函数,设F(x)=g(a)+g(x)-2ga+x2,则F(x)=g(x)-2ga+x2=lnx-lna+x2.当0xa时,F(x)a时,F(x)0,因此F(x)在(a,+)上为增加的,从而当x=a时,F(x)有极小值F(a).因为F(a)=0,ba,所以F(b)0,即g(a)+g(b)-2ga+b20.设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则G(x)=lnx-lnx+a2-ln2=lnx-ln(x+a),当x0时,G(x)a,所以G
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