2022高考数学一轮复习-课时规范练47-圆的方程北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练47 圆的方程北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练47 圆的方程北师大版

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课时规范练47　圆的方程
基础巩固组
1.已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是(　　)

A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(0,-1)
2.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为(　　)
A.12 B.1 C.2 D.4
3.(2020河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C:(x-1)2+(y-2)2=4上一点,A(0,-6),B(4,0),则|PA+PB|的最大值为(　　)
A.26+2 B.26+4
C.226+4 D.226+2
4.圆心在x+y=0上,且与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)的圆的方程为(　　)
A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=5
5.如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在一点到原点的距离为3,则实数a的取值范围为(　　)
A.[2,2] B.[2,22]
C.[1,2] D.[1,22]
6.(2020广东广州期中)圆x2+y2-2x+4y-3=0上到直线x+y+3=0的距离为22的点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
8.设点P是函数y=-4-(x-1)2图像上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为　　　　　. 
9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　　　　. 
10.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.

综合提升组
11.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是(　　)
A.[-1,1] B.-12,12
C.[-2,2] D.-22,22
12.(2020福建厦门一模)在△ABC中,AB=4,AC=2,A=π3,动点P在以点A为圆心,半径为1的圆上,则PB·PC的最小值为　　　　　. 
13.(2020山东聊城期中)已知曲线方程为x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若此曲线是圆,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O是坐标原点),求m的值.

创新应用组
14.(2020安徽安庆三环高中月考)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是　　　　　. 
15.点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b∈R+,则1a+1+1b的最小值为　　　　　. 

参考答案

课时规范练47　圆的方程
1.D　当圆的半径最大时,圆的面积最大,已知圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0,其圆心为-k2,-1,半径为r=4-3k22,可知当k=0时,r取最大值,即圆的面积最大时,圆心的坐标为(0,-1),故选D.
2.C　由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),半径为3.如图所示,

当过点P(1,2)的直线与连接P与圆心的直线垂直时,弦AB最短,则最短弦长为232-[(3-1)2+(0-2)2]=2.
3.C　取AB的中点D(2,-3),则PA+PB=2PD,|PA+PB|=|2PD|,|PD|的最大值为圆心C(1,2)与D(2,-3)的距离d再加半径r,又因为d=1+25=26,
所以d+r=26+2.
所以|2PD|的最大值为226+4.即|PA+PB|的最大值为26+2.故选C.
4.A　由题意得,圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,∴圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径|AM|=(-1+3)2+(1-0)2=5,
则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A.
5.B　(x-a)2+(y-a)2=1(a>0),圆心为(a,a),半径为1,圆心到原点的距离为2a,如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在一点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离d∈[2,4],即2≤2a≤4⇒2≤a≤22,故选B.
6.D　圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=8,表示以C(1,-2)为圆心,以22为半径的圆.
圆心到直线x+y+3=0的距离为d=|1-2+3|2=22=2,
故圆x2+y2-2x+4y-3=0上到直线x+y+3=0的距离为22的点共有4个.
7.A　设圆心C(x,y),则(x-3)2+(y-4)2=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,
所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,以1为半径的圆,

所以|OC|+1≥|OM|,又|OM|=32+42=5,所以|OC|≥4,
当且仅当C在线段OM上时,等号成立.故选A.
8.5-2　函数y=-4-(x-1)2的图像表示圆(x-1)2+y2=4在x轴上及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则x=2a,y=a-3,

得y=x2-3,即x-2y-6=0,作出图像如图所示,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=|1-2×0-6|12+(-2)2=5>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是5-2.
9.x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1))　设C(x,y),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.
考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).
所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).
10.解(1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).
(2)设点M(x,y),因为点M为线段AB的中点,所以C1M⊥AB,
所以kC1M·kAB=-1,当x≠3时,可得yx-3·yx=-1,
整理得x-322+y2=94,
又当直线l与x轴重合时,M点坐标为(3,0),代入上式成立.
设直线l的方程为y=kx,与x2+y2-6x+5=0联立,消去y,得(1+k2)x2-6x+5=0.
令其判别式Δ=(-6)2-4(1+k2)×5=0,得k2=45,此时方程为95x2-6x+5=0,解得x=53,因此53<x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-322+y2=9453<x≤3.
11.

A　如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,
且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,圆上存在点N使∠OMN=45°,
则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,
∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.
当∠AOM=45°时,x0=±1.
∴结合图像知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1,∴x0的取值范围为[-1,1].故选A.
12.5-27　

如图,以A为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则点A(0,0),B(4,0),C(1,3).
设点P(x,y),则PB=(4-x,-y),PC=(1-x,3-y),所以PB·PC=(4-x)(1-x)-y(3-y)=x2-5x+y2-3y+4=x-522+y-322-3.则x-522+y-322表示圆A上的点P与点M52,32之间的距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|min=|AM|-1=522+322-1=7-1,所以PB·PC的最小值为(7-1)2-3=5-27.
13.解(1)曲线方程为x2+y2-2x-4y+m=0.
整理,得(x-1)2+(y-2)2=5-m,
因为此曲线是圆,所以5-m>0,
解得m<5.
即m的取值范围是(-∞,5).
(2)设直线x+2y-4=0与圆:x2+y2-2x-4y+m=0的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).
则x+2y-4=0,x2+y2-2x-4y+m=0,整理,得5y2-16y+8+m=0,
Δ=162-20(8+m)>0,得m<245.
则y1+y2=165,y1y2=8+m5,
由OM⊥ON(O为坐标原点),得x1x2+y1y2=0,
又因为x1=4-2y1,x2=4-2y2,
所以(4-2y1)(4-2y2)+y1y2=5y1y2-8(y1+y2)+16=0,
将y1+y2=165,y1y2=8+m5代入上式,可得m=85,符合Δ>0,故m的值为85.
14.125　根据题意,设P的坐标为(m,n),圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为N,则N(3,4),
PQ为圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线,则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1,又由|PQ|=|PO|,可得|PN|2=|PO|2+1,

即(m-3)2+(n-4)2=m2+n2+1,整理,得6m+8n=24,即P在直线6x+8y=24上,则|PQ|的最小值即为点O到直线6x+8y=24的距离,且d=|6×0+8×0-24|62+82=125,
即|PQ|的最小值是125.
15.1　曲线C可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆,t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=(x+6)2+(y-6)2,则d表示圆上的点到(-6,6)的距离,则dmax=(2+6)2+(0-6)2+5=15,∴tmax=152-222-a=b,整理得a+1+b=4,
∴1a+1+1b=141a+1+1b(a+1+b)=14×1+ba+1+a+1b+1.
又ba+1+a+1b≥2ba+1·a+1b=2当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时取等号,∴1a+1+1b≥14×4=1,即1a+1+1b的最小值为1.