2022高考数学一轮复习-第七章-不等式、推理与证明-7.2-基本不等式及其应用学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用学案北师大版

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7.2　基本不等式及其应用
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.基本不等式:ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件:　　　　　　　. 
(2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时取等号. 
(3)其中a+b2称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当　　　时,x+y有最　　值是2p(简记:积定和最小). 
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当　　　时,xy有最　　值是s24(简记:和定积最大). 

(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(3)a2+b22≥a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(4)ba+ab≥2(a,b∈R,且a,b同号),当且仅当a=b时取等号.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)当a≥0,b≥0时,a+b2≥ab.(　　)
(2)两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的.(　　)
(3)函数y=x+1x的最小值是2.(　　)
(4)函数f(x)=sin x+4sinx的最小值为2.(　　)
(5)x>0且y>0是xy+yx≥2的充要条件.(　　)
2.若a>0,b>0,ab=2,则a+2b的最小值为(　　)

A.22 B.4 C.42 D.6
3.(2020北京海淀期中,4)设a,b∈R,且a<b<0.则(　　)
A.1a<1b B.ba>ab
C.a+b2>ab D.ba+ab>2
4.(2020山东淄博4月模拟,14)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为　　　　　. 
5.(2020北京陈经纶中学摸底,14)设x>0,y>0,x+2y=2,则xy的最大值为　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
利用基本不等式证明不等式

【例1】(2020黑龙江哈尔滨香坊区期末)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:
(1)1a+1b+1c≥9;
(2)1a-11b-11c-1≥8.
思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?

解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.
对点训练1已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1+1a1+1b≥9.

考点
利用基本不等式求最值(多考向探究)

考向1　求不含等式条件的最值问题
【例2】(1)若x>0,则函数y=x+12x+1的最小值为(　　)

A.2+12 B.2-12
C.2+1 D.2-1
(2)1sin2θ+4cos2θ的最小值为　　　　. 
(3)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为(　　)

A.13 B.12 C.34 D.23
考向2　求含有等式条件的最值问题
【例3】(1)(2020江西名校大联考,理11)若x>0,y>-1,且满足2x+y=1,则2x2+1x+y2y+1的最小值是(　　)
A.3 B.32+2
C.22 D.12+2
(2)(2020天津河北线上测试,15)已知a>0,b>0,且1a+1b=1,则1a-1+4b-1的最小值为　　　　　. 
对点训练2(1)(2020江苏联考)已知x>0,y>0,则x+yx+16xy的最小值为　　　　　. 
(2)(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为　　　　　. 

考点
基本不等式的实际应用

【例4】(2020广东高州一中月考)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权费为6 000元/m2.材料工程费在建造第一层时为500元/m2,以后每增加一层费用增加30元/m2.(每一层的建筑面积都相同)
(1)若把楼盘的楼房设计成x层,平均每平方米建筑面积的成本为y元,将y表示成x的函数;
(2)若平均每平方米建筑面积的成本不高于1 235元,求楼房设计层数最少为多少层?
(3)应把楼盘的楼房设计成多少层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低?
思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?需注意什么事项?

解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.
2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.
3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
对点训练3(2020福建期末联考)某品牌饮料原来每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.
(1)据市场调查,若售价每提高1元,月销售量将相应减少2 000瓶,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该饮料每瓶售价最多为多少元?
(2)为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革,计划每瓶售价x(x≥16)元,并投入334(x-16)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每瓶售价每提高1元,月销售量将相应减少0.45(x-15)2万瓶,则当每瓶售价x为多少时,下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润.

1.应用基本不等式求最值的常用方法有:
(1)若直接满足基本不等式的条件,则直接应用基本不等式.
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.
2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.
3.对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形,例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤a2+b22;a+b2≥ab(a>0,b>0)逆用就是ab≤a+b22(a>0,b>0).变形有ab≤a+b22≤a2+b22,ab≤a+b2≤a2+b22(a>0,b>0)等,同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等.

7.2　基本不等式及其应用
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)a>0,b>0　(2)a=b
2.(1)x=y　小　(2)x=y　大
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.B　依题意,a>0,b>0,所以a+2b≥22ab.又ab=2,所以a+2b≥22ab=24=4,当且仅当a=2,b=1时,取得等号.故选B.
3.D　取a=-2,b=-1代入选项A,B,C都不成立,因为a<b<0,所以ba>0,ab>0,且ba≠ab.由基本不等式,得ba+ab>2ba·ab=2.
4.14　由2a+18b=2a+2-3b≥22a-3b=22-6=2×2-3=2-2=14,当且仅当a=-3b,即a=3,b=-1时,等号成立.
5.12　x>0,y>0,x+2y≥22xy,即2≥22xy,整理得xy≤12,当且仅当x=1,y=12时取最大值12.
关键能力·学案突破
例1证明(1)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1a+1b+1c=1a+1b+1c(a+b+c)=3+ba+ab+cb+bc+ca+ac≥3+2ba·ab+2cb·bc+2ca·ac=9.
当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)1a-11b-11c-1=a+b+ca-1a+b+cb-1a+b+cc-1=b+ca·a+cb·a+bc≥2bc·2ac·2ababc=8abcabc=8.
当且仅当a=b=c时上式等号成立.
对点训练1证明(方法1)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+1a=1+a+ba=2+ba.
同理,1+1b=2+ab.
∴1+1a1+1b
=2+ba2+ab
=5+2ba+ab≥5+4=9,
当且仅当ba=ab,
即a=b=12时,等号成立.
∴1+1a1+1b≥9,
当且仅当a=b=12时,等号成立.
(方法2)1+1a1+1b
=1+1a+1b+1ab
=1+a+bab+1ab=1+2ab.
∵a,b为正数,a+b=1,
∴ab≤a+b22=14,当且仅当a=b=12时,等号成立.
于是1ab≥4,2ab≥8,当且仅当a=b=12时,等号成立.
∴1+1a1+1b≥1+8=9,
当且仅当a=b=12时,等号成立.
例2(1)B　(2)9　(3)B　(1)x>0,函数y=x+12x+1=x+12+12x+12-12≥212-12=2-12,当且仅当x=2-12时取等号.
∴函数y=x+12x+1的最小值为2-12.故选B.
(2)1sin2θ+4cos2θ=1sin2θ+4cos2θsin2θ+cos2θ=1+4+cos2θsin2θ+4sin2θcos2θ≥5+2cos2θsin2θ×4sin2θcos2θ=9.
当且仅当cos2θ=2sin2θ时取得等号.
(3)因为0<x<1,所以x(3-3x)=3x(1-x)≤3x+(1-x)22=34.当且仅当x=1-x,即x=12时等号成立.
例3(1)B　(2)4　(1)2x2+1x+y2y+1=2x+1x+y+1y+1-1=1x+1y+1,因为2x+y+1=2,所以12(2x+y+1)1x+1y+1=123+y+1x+2xy+1≥12(3+22),当且仅当y+1x=2xy+1,2x+y=1时,等号成立,即x=2-2,y=22-3时取得最小值32+2.故选B.
(2)因为a>0,b>0,且1a+1b=1,得a>1,b>1,且b=aa-1,
所以1a-1+4b-1=1a-1+4aa-1-1=1a-1+4(a-1)≥21a-1·4(a-1)=4,
当且仅当a=32时,等号成立,因此,1a-1+4b-1的最小值为4.
对点训练2(1)42　(2)4　(1)由x>0,y>0,x+yx+16xy=x+y2+16xy≥x+2y·4xy=x+8yxy≥2x·8yxy=42,
当且仅当x=22,y=4时,等号成立.
(2)∵ab=1,∴b=1a.∴12a+12b+8a+b=12a+a2+8a+1a=121a+a+8a+1a.令1a+a=t>0,则原式=t2+8t≥2t2·8t=24=4.
当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1a+a=4.
例4解(1)设每层的面积为zm2,则该楼盘材料工程总费用为p=500z+(500+30)z+(500+60)z+…+[500+(x-1)×30]z=z500x+x(x-1)2×30=z(15x2+485x),
则平均每平方米建筑面积的成本费为6000z+pxz=6000+15x2+485xx=485+6000x+15x,
故y=485+6000x+15x,x∈N*.
(2)依题意得y≤1235,所以6000x+15x≤750,所以x2-50x+400≤0,解得10≤x≤40,
所以楼层设计层数最少为10层.
(3)y=485+6000x+15x≥485+26000x×15x=1085,
当且仅当6000x=15x,即x=20时,等号成立,故应把楼房设计成20层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低.
对点训练3解(1)设每瓶定价为t元,依题意,有[8-(t-15)×0.2](t-10)≥5×8,整理得t2-65t+750≤0,解得15≤t≤50.
因此要使销售的总收入不低于原收入,每瓶定价最多为50元.
(2)设每瓶定价为x(x≥16)元,月总利润为f(x),则f(x)=(x-10)8-(x-15)0.45(x-15)2-334(x-16)
=-14x-0.45xx-15+4.5x-15+52
=-14(x-15+15)-0.45(x-15+15)x-15+4.5x-15+52
=-14(x-15)+2.25x-15+47.8≤-214(x-15)2.25x-15+47.8=46.3.
当且仅当14(x-15)=2.25x-15,即(x-15)2=9,
所以x-15=3或x-15=-3(舍去),
所以x=18.
因此当每瓶售价18元时,下月的月总利润最大,最大总利润为46.3万元.