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2022版高考数学一轮复习 练案2 第一章 集合与常用逻辑用语 第一讲 命题及其关系、充分条件与必要条件新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案2 第一章 集合与常用逻辑用语 第一讲 命题及其关系、充分条件与必要条件新人教版

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第二讲　命题及其关系、充分条件与必要条件
A组基础巩固
一、单选题
1．(2021·河北邯郸一中月考)下列命题是真命题的为(　A　)
A．若＝，则x＝y　　 B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝　　 D．若x<y，则x2<y2
[解析]　选项A，由＝得＝0，则x＝y，为真命题；选项B，由x2＝1得x＝±1，x不一定为1，为假命题；选项C，若x＝y，，不一定有意义，为假命题；选项D，若x<y<0，则x2>y2，为假命题，故选A.
2．(2021·湖北宜昌一中月考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　B　)
A．逆命题　　 B．否命题
C．逆否命题　　 D．否定
[解析]　命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
3．(2021·河南杞县中学月考)命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　C　)
A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
[解析]　根据逆否命题的定义可以排除A、D两项，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
4．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是(　B　)
A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0
B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0
C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0
D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0
[解析]　否命题既否定条件又否定结论．
5．(2020·浙江，6)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　B　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解析]　当m，n，l在同一平面内时，它们可能相互平行，所以充分性不成立．当m，n，l两两相交时，因为三条直线m，n，l不过同一点，所以它们必在同一平面内，必要性成立．故选B.
6．已知命题p：x≠3且y≠2，q：x＋y≠5，则p是q的(　D　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解析]　(等价转化法)原命题等价于判断¬q：x＋y＝5是¬p：x＝3或y＝2的何种条件，
显然¬q¬p，¬p¬q，所以p是q的既不充分也不必要条件．
7．(2020·上海嘉定区期中)已知A：|x－1|<3，B：(x＋2)(x＋a) <0，若A是B的充分非必要条件，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(－∞，－4)　　 B．(－4，0)
C．(－∞，1)　　 D．(－4，2)
[解析]　由A是B的充分非必要条件，得A⇒B，但BA.
A：|x－1|<3⇒－3<x－1<3⇒－2<x<4.
B：(x＋2)(x＋a)<0⇒
由A⇒B，但BA，得－a>4且a<2，则实数a的取值范围是(－∞，－4)．
二、多选题
8．(2021·甘肃酒泉敦煌中学一诊改编)下列四个命题中，是真命题的有(　ABCD　)
A．“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题
B．“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题
C．“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题
D．“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题
[解析]　A．“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题．
B．“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直于(b－c)”．由a·b≠a·c可得a·(b－c)≠0，据此可知a不垂直于(b－c)，该命题为真命题．
C．若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题．
D．“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．
综上，是真命题的有A、B、C、D.
9．(2021·安徽定远中学月考改编)下列说法不正确的是(　ABD　)
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题
D．“tan x＝1”是“x＝”的充分不必要条件
[解析]　由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0⇔x＝－1或x＝2，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即B不正确；因为由x＝y能推得sin x＝sin y，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝能推得tan x＝1，但由tan x＝1推不出x＝，所以“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件，即D不正确．故选A、B、D.
10．下列说法正确的是(　ACD　)
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－3x＋2≠0”
B．“a>b”是“ac2> bc2”的充分不必要条件
C．命题“∃x∈R，x2－x >0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题
[解析]　本题考查逆否命题、充分必要条件、特称命题的否定及命题的真假．
A．同时否定条件和结论，然后以原来的条件作为结论，以原来的结论作为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题“若x2－3x＋2 ＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－3x＋2≠0”；
B．若a>b，当c＝0时不满足ac2>bc2，即充分性不成立，反之，若ac2>bc2，则一定有a>b，即必要性成立，综上可得，“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件；
C．特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；
D．由真值表可知若p∨q为假命题，则p，q均为假命题．故选ACD.
三、填空题
11．命题“已知在△ABC中，若角C＝90°，则角A，B都是锐角”的否命题为 已知在△ABC中，若角C≠90°，则角A，B不都是锐角 ．
[解析]　否命题同时否定条件和结论．
12．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为 2 ．
[解析]　原命题是真命题，所以原命题的逆否命题也是真命题；原命题的逆命题是“若a>－6，则a>－3”，此命题是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．综上可知，假命题有2个．
13．(2021·湖南六校联考)设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的 必要不充分 条件．
[解析]　因为甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙甲；又因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；又因为丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁丙；故甲⇒丁，丁甲，即丁是甲的必要不充分条件．
14．(2020·山西大同一中期中)已知集合A＝
，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}．若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是 (2，＋∞) .
[解析]　由题意A＝＝{x|－1<x<3}．
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，即m>2.
B组能力提升
1．(2020·河南信阳期末)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是(　D　)
A．不拥有的人们不一定幸福
B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福
D．不拥有的人们不幸福
[解析]　本题考查原命题和逆否命题之间的等价关系．根据原命题与逆否命题是等价命题可知，“幸福的人们都拥有”的逆否命题是“不拥有的人们不幸福”，故选D.
2．设x，y∈R，则“x>y”是“ln x>ln y”的(　B　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解析]　ln x>ln y⇔x>y>0，则“x>y”是“ln x>ln y”的必要不充分条件．故选B.
3．(2021·安徽合肥模拟)(数学文化题)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高上的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　A　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解析]　根据祖暅原理，“A，B在等高处的截面积恒相等”是“A，B的体积相等”的充分不必要条件，即¬q是¬p的充分不必要条件，故p是q的充分不必要条件，选A.
4．(多选题)“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是(　BC　)
A．2≤m<3　　 B．≤m≤3
C．1≤m<3　　 D．2≤m≤
[解析]　本题考查必要不充分条件的探求．函数f(x)图象的对称轴是直线x＝m，由已知可得充要条件是1<m<3，由选项判断，命题成立的必要不充分条件可以是≤m≤3或1≤m<3.故选BC.
5．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是 [1，2] ．
[解析]　由已知得，若1<x<2成立，
则m－1<x<m＋1也成立．
∴∴1≤m≤2.