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2022届高考数学一轮复习 第十章 10.7 离散型随机变量及其分布列学案

2022届高考数学一轮复习 第十章 10.7 离散型随机变量及其分布列学案

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第七节　离散型随机变量及其分布列

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．离散型随机变量的分布列
如果随机试验的结果可以用一个①________来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做②____________.
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P＝(X＝xi)＝pi，则表

X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的③________________________，简称为X的④__________.有时为了表达简单，也用等式⑤__________表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
，其中p＝⑥________称为成功概率．

(2)超几何分布列：
在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，其中m＝⑦____________，且⑧____________________，则称分布列为超几何分布列．

X
0
1
…
m
P

…

二、必明2个易误点
1．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
2．要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(　　)
(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)
(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．(　　)
(4)如果随机变量X的分布列由下表给出，

X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布．(　　)
(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)
二、教材改编

2．设随机变量X的分布列如下：

X
1
2
3
4
5
P

p
则p为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3．设随机变量X的概率分布列如下，则P(|X－2|＝1)＝(　　)

X
1
2
3
4
P

m

A. B. C. D.

三、易错易混
4．袋中有3个白球，5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
5．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.

考点一　离散型随机变量分布列的性质[自主练透型]

1．若随机变量X的概率分布列为

X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

X
－1
0
1
P

1－2q
q2
则q等于(　　)
A．1 B．1±
C．1－ D．1＋
3．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为________．

　悟·技法
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
考点二　离散型随机变量的分布列
[例1]　[2021·河南检测]某班为了活跃元旦晚会的气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2,3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2,3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．
(1)求甲获得奖品的概率；
(2)设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列．

悟·技法
离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．
提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.

[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·江苏南通联考]甲、乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲、乙两人从装有4个红球、1个黑球(除颜色外完全相同)的袋中轮流不放回摸取1个球，摸到黑球便结束该局，且摸到黑球的人获胜．
(1)若在一局游戏中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；
(2)若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸并获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布．

考点三　超几何分布
[例2]　[2021·广东中山华侨中学检测]设一个口袋中装有10个球，其中红球2个，绿球3个，白球5个，这三种球除颜色外完全相同．从中一次任意选取3个，取后不放回．
(1)求三种颜色球各取到1个的概率；
(2)设X表示取到红球的个数，求X的分布列．

悟·技法
1.随机变量是否服从超几何分布的判断
(1)若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：①该试验是不放回地抽取n个；②随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
(2)一般地，设有N件产品，其中次品和正品分别为M1件，M2件(M1，M2≤N)，从中任取n(n≤N)件产品，用X，Y分别表示取出的n件产品中次品和正品的件数，则随机变量X服从参数为N，M1，n的超几何分布，随机变量Y服从参数为N，M2，n的超几何分布．
2．求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列.

[变式练]——(着眼于举一反三)
2．某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列．

第七节　离散型随机变量及其分布列
【知识重温】
①变量　②离散型随机变量　③概率分布列
④分布列　⑤P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n　⑥P(X＝1)　⑦min{M，n}　⑧n≤N，M≤N，n、M、N∈N*
【小题热身】
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
(5)√
2．解析：由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.
答案：C
3．解析：由|X－2|＝1可得X＝3或X＝1，再由分布列的性质可得m＝1－＝，∴P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝，故选C.
答案：C
4．解析：A、B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0,1,2.故选C.
答案：C
5．解析：由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.
答案：
课堂考点突破
考点一
1．解析：因为P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.8，P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.9，所以P(X<a)＝0.8时，1<a≤2，故选C.
答案：C
2．解析：由题意可得＋1－2q＋q2＝1，可得2q2－4q＋1＝0，解得q＝1－，q＝1＋(舍去)，故选C.
答案：C
3．解析：由
×a＝1，知a＝1，得a＝.
故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
答案：
考点二
例1　解析：(1)设“甲获得奖品”为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，
则P(A)＝×××＝.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，则
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝××＝.
所以随机变量X的分布列为

X
1
2
3
4
P

变式练
1．解析：(1)记“一局中甲先摸，甲在该局获胜”为事件A，易知黑球被摸到的情况有5种，且被甲摸到的情况有3种，所以P(A)＝.
故甲在该局获胜的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝，
所以X的概率分布为

X
0
1
2
3
P

考点三
例2　解析：(1)设A表示事件“三种颜色的球各取到一个”，
则P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则X的分布列为

X
0
1
2
P

变式练
2．解析：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数为N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布．X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3)，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P