2022版高考数学大一轮复习-第9章-直线和圆的方程-第2讲-圆的方程及直线、圆的位置关系备考试题.docx

2022版高考数学大一轮复习 第9章 直线和圆的方程 第2讲 圆的方程及直线、圆的位置关系备考试题

2022版高考数学大一轮复习 第9章 直线和圆的方程 第2讲 圆的方程及直线、圆的位置关系备考试题

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第九章　直线和圆的方程
第二讲　圆的方程及直线、圆的位置关系
练好题·考点自测
1.[2021安徽省四校联考]直线2x·sin θ+y=0被圆x2+y2-25y+2=0截得的最大弦长为(　　)
A.25 B.23 C.3 D.22
2.[2020全国卷Ⅰ,6,5分][文]已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.[2016山东,7,5分][文]已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
4.[2020全国卷Ⅲ,10,5分]若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为(　　)
A.y=2x+1 B.y=2x+12
C.y=12x+1 D.y=12x+12
5.[2021吉林省高三联考]已知圆C:x2+y2=r2(r>0),设p:r≥32;q:圆C上至少有3个点到直线3x+y-2=0的距离
为12,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.[2018全国卷Ⅲ,8,5分][文]直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)
A.[2,6] B.[4,8]
C.[2,32] D.[22,32]
7.[2020全国卷Ⅰ,11,5分]已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
8.[2019北京,11,5分][文]设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为　　　　　　. 
9.[2020浙江,15,6分]已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=　　　　,b=　　　　. 

拓展变式
1.[2017全国卷Ⅲ,20,12分]已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上.
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.

2.[2020武汉部分重点中学5月联考]已知圆C1:(x-1)2+(y-3)2=9和C2:x2+(y-2)2=1,若M,N分别是圆C1,C2上的点,P是抛物线x2=4y的准线上的一点,则|PM|+|PN|的最小值是　　　　. 
3.[原创题]已知直线l:x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+m=0,若直线l与圆C无公共点,则m的取值范围是(　　)
A.(1,8)　　B.(8,374)　　C.(1,37)　　D.(8,+∞)
4.[2021广西模拟]在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任意一点P作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当|PQ|最小时,k=　　　　. 
5.圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为　　　　,公共弦长为　　　　. 
6.(1)[2020武汉武昌实验中学考前模拟]过点D(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则弦AB所在直线的方程为(　　)
A.2y-1=0 B.2y+1=0
C.x+2y-1=0 D.x-2y+1=0
(2)[2020河北冀州中学模拟]已知圆C:x2+y2-2x-4y+3=0.
①若圆C的一条切线在x轴和y轴上的截距相等,则此切线的方程为　　　　; 
②从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则|PM|的最小值为　　　　. 
7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,其中阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,即已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A(-12,0),B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为(　　)
A.6　　　B.7　　　C.10　　　D.11

答 案
第九章　直线和圆的方程
第二讲　圆的方程及直线、圆的位置关系

1.D　根据题意,圆x2+y2-25y+2=0,即x2+(y-5)2=3,其圆心为(0,5),半径r=3,圆心到直线2x·sin θ+y=0的距离d=|5|1+4sin2θ=51+4sin2θ≥55=1,当圆心到直线的距离最小时,直线2x·sin θ+y=0被圆x2+y2-25y+2=0截得的弦长最大,而d=51+4sin2θ的最小值为1,则直线2x·sin θ+y=0被圆x2+y2-25y+2=0截得的最大弦长为2×3-1=22,故选D.
2.B　将圆的方程x2+y2-6x=0化为标准方程(x-3)2+y2=9,设圆心为C,则C(3,0),半径r=3.设点(1,2)为点A,过点A(1,2)的直线为l,因为(1-3)2+22<9,所以点A(1,2)在圆C的内部,则直线l与圆C必相交,设交点分别为B,D.易知当直线l⊥AC时,直线l被该圆所截得的弦的长度最小,设此时圆心C到直线l的距离为d,则d=|AC|=(3-1)2+(0-2)2=22,所以|BD|min=2r2-d2=232-(22)2=2,即弦的长度的最小值为2,故选B.
【方法总结】　(1)一条直线被圆所截得的弦为AB,则|AB|=2r2-d2(其中r为圆的半径,d为圆心到直线的距离).(2)过圆内一点P的直线为l,当直线l⊥PC(其中C为圆心)时,直线l被圆所截得的弦的长度取得最小值;当直线l过圆心时,直线l被圆所截得的弦的长度取得最大值,最大值即圆的直径.
3.B　由题知圆M:x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=a2,所以2a2-a22=22,解得a=2.圆M,圆N的圆心距|MN|=2,两圆半径之差为1,故两圆相交.
4.D　易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,则|b|k2+1=55　①,设直线l与曲线y=x的切点坐标为(x0,x0)(x0>0),则y' x=x0=12x0-12=k　②,x0=kx0+b　③,由②③可得b=12x0,将b=12x0,k=12x0-12代入①得x0=1或x0=-15(舍去),所以k=b=12,故直线l的方程为y=12x+12.
5.C　圆C的圆心为(0,0),其到直线3x+y-2=0的距离为1.
当0<r<12时,圆上没有点到直线的距离为12;当r=12时,圆上有1个点到直线的距离为12;当12<r<32时,圆上有2个点到直线的距离为12;当r=32时,圆上有3个点到直线的距离为12;当r>32时,圆上有4个点到直线的距离为12;要使圆C上至少有3个点到直线3x+y-2=0的距离为12,则r≥32,所以p是q的充要条件,故选C.
6.A　圆心(2,0)到直线的距离d=|2+0+2|2=22,所以点P到直线的距离d1∈[2,32].根据直线的方程可知A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=22,所以△ABP的面积S=12|AB|·d1=2d1.因为d1∈[2,32],所以S∈[2,6],即△ABP面积的取值范围是[2,6].
【素养落地】　本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及三角形面积的求解,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养,试题难度中等.求解此题的关键是确定三角形的高的取值范围.当直线与圆相离时,若已知圆的半径r,圆心到直线的距离d,则圆上的点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为d-r.
7.D　由☉M:x2+y2-2x-2y-2=0　①,
得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心M(1,1).

图D 9-2-1
如图D 9-2-1,连接AM,BM,易知PM⊥AB,所以四边形PAMB的面积为12|PM|·|AB|,欲使|PM|·|AB|最小,只需四边形PAMB的面积最小,即只需△PAM的面积最小.因为|AM|=2,所以只需|PA|最小.
因为|PA|=|PM|2-|AM|2=|PM|2-4,所以只需直线2x+y+2=0上的动点P到M的距离最小,其最小值为|2+1+2|5=5,此时PM⊥l,易求出直线PM的方程为x-2y+1=0.
由2x+y+2=0,x-2y+1=0,得x=-1,y=0,所以P(-1,0).因为∠PAM=∠PBM=90°,所以A,B在以PM为直径的圆上.所以此圆的方程为x2+(y-12)2=(52)2,即x2+y2-y-1=0　②,
由①-②得,直线AB的方程为2x+y+1=0,故选D.
8.(x-1)2+y2=4　因为抛物线的标准方程为y2=4x,所以焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1.因为所求的圆以F为圆心,且与准线l相切,故圆的半径r=2,所以圆的方程为(x-1)2+y2=4.
9.33　-233　解法一　因为直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1,圆(x-4)2+y2=1都相切,所以|b|1+k2=|4k+b|1+k2=1,得k=33,b=-233.
解法二　因为直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1,圆(x-4)2+y2=1都相切,所以直线y=kx+b必过两圆心连线的中点(2,0),所以2k+b=0.设直线y=kx+b的倾斜角为θ,则sin θ=12,又k>0,所以θ=π6,所以k=tan π6=33,b=-2k=-233.

1.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.
由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.
又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4.
则OA·OB=x1x2+y1y2=0,所以OA⊥OB.
又圆M是以线段AB为直径的圆,故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.
故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m2+2)2+m2.
由于圆M过点P(4,-2),因此AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.
当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为(94,-12),圆M的半径为854,圆M的方程为(x-94)2+(y+12)2=8516.
2.52-4　依题意知,抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,则圆C1关于直线y=-1的对称圆的圆心为C3(1,-5),半径为3.圆C2的圆心为(0,2),半径为1,连接C2C3,由图象可知(图略),当P,C2,C3三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,其最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径之和,即(|PM|+|PN|)min=|C2C3|-3-1=1+49-4=52-4.
3.B　将圆C的方程配方,得(x+12)2+(y-3)2=37-4m4,则有37-4m4>0,解得m<374.因为直线l与圆C无公共点,所以圆心(-12,3)到直线x+2y-3=0的距离大于半径,即|-12+2×3-3|12+22>37-4m4,解得m>8.所以m的取值范围是(8,374).故选B.
4.2　由题意知,|C1C2|=k2+(-k+4)2=2(k-2)2+8≥22>2,所以圆C1与圆C2外离,示意图如图D 9-2-2所示.

因为PQ为圆C2的切线,所以PQ⊥C2Q,
由勾股定理,得|PQ|=|PC2|2-1,要使|PQ|最小,则需|PC2|最小.
显然当点P为C1C2与圆C1的交点时,|PC2|最小,此时|PC2|=|C1C2|-1,
所以当|C1C2|最小时,|PC2|最小.
易知当k=2时,|C1C2|取最小值,即|PQ|最小.
5.x-2y+4=0　25　联立两圆的方程,得x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0,两式相减并整理得x-2y+4=0,所以两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.
解法一　设两圆相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组x-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-8=0,解得x1=-4,y1=0或x2=0,y2=2.
所以|AB|=(0+4)2+(2-0)2=25,即公共弦长为25.
解法二　由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径r=52,圆心到直线x-2y+4=0的距离d=|1-2×(-5)+4|1+(-2)2=35.
设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=(35)2+l2,解得l=5,故公共弦长2l=25.
6.(1)B　解法一(常规解法)　由圆C:(x-1)2+y2=1的方程可知其圆心为C(1,0),半径为1.
连接CD,以线段CD为直径的圆的方程为(x-1)(x-1)+(y+2)(y-0)=0,整理得(x-1)2+(y+1)2=1.
将两圆的方程相减,可得公共弦AB所在直线的方程为2y+1=0.故选B.
解法二(结论解法)　由与圆的切线有关的结论(详见主书P181【思维拓展】(2))得弦AB所在直线的方程为(1-1)(x-1)+(-2)y=1,即2y+1=0.故选B.
(2)①(6-2)x-y=0或(6+2)x+y=0或x+y-1=0或x+y-5=0　圆C的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=2,
当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx(k≠0),由直线与圆相切,得|k-2|k2+1=2,解得k=-2±6.
所以切线方程为y=(-2+6)x或y=(-2-6)x.
当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x+y-a=0,
由直线与圆相切,得|1+2-a|2=2,解得a=1或a=5.
所以切线方程为x+y-1=0或x+y-5=0.
综上所述,所求的切线方程为(-2+6)x-y=0或(2+6)x+y=0或x+y-1=0或x+y-5=0.
②3510　由|PM|=|PO|,得(x1-1)2+(y1-2)2-2=x12+y12,
整理得2x1+4y1-3=0,即点P在直线l:2x+4y-3=0上.
又|PM|=|CP|2-r2,所以要使|PM|取得最小值,只需|CP|取得最小值,记圆心C(1,2)到直线l:2x+4y-3=0的距离为d,可知d≤|CP|,当且仅当d=|CP|时,|CP|取得最小值.
因为d=|2×1+4×2-3|22+42=725,所以|PM|min=d2-r2=(725)2-(2)2=3510.
7.C　①当点M在x轴上时,点M的坐标为(-1,0)或(1,0).若点M的坐标为(-1,0),则2|MA|+|MB|=2×12+(1+1)2+12=1+5;若点M的坐标为(1,0),则2|MA|+|MB|=2×32+(1-1)2+12=4.
②当点M不在x轴上时,取点K(-2,0),连接OM,MK,因为|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,所以|OM||OA|=|OK||OM|=2.因为∠MOK=∠AOM,所以△MOK∽△AOM,则|MK||MA|=|OM||OA|=2,所以|MK|=2|MA|,则2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|.易知|MB|+|MK|≥|BK|,可知|MB|+|MK|的最小值为|BK|.因为B(1,1),K(-2,0),所以(2|MA|+|MB|)min=|BK|=(-2-1)2+(0-1)2=10.
综上,易知2|MA|+|MB|的最小值为10.故选C.