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2022届高考数学一轮复习 第九章 9.7 抛物线课时作业

2022届高考数学一轮复习 第九章 9.7 抛物线课时作业

年级：
姓名：

课时作业53　抛物线
[基础达标]
一、选择题
1．[2021·吉林辽源市田家炳中学调研]以直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝2x　B．y2＝－2x
C．y2＝4xD．y2＝－4x
2．[2021·惠州市高三调研考试试题]若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是(　　)
A．6B．8
C．9D．10
3．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为的直线l过点F与抛物线交于A，B两点，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D两点，M为线段AB的中点，则△CDM是(　　)
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
4．[2020·全国卷Ⅲ]设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A.B.
C．(1,0) D．(2,0)
5．[2021·山东菏泽检测]已知直线l过抛物线C：y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是6，O是坐标原点，则(　　)
A．抛物线C的方程是y2＝8x
B．抛物线C的准线方程是y＝2
C．直线l的方程是x－y＋2＝0
D．△MON的面积是8
二、填空题
6．[2021·沈阳质量检测]已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．
7．[2021·合肥市高三教学质量检测]直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于________．
8．[2021·湖北省部分重点中学高三起点考试]已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|:|MN|＝1:2，则实数a的值为________．
三、解答题
9．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程．

10.[2021·江西南昌重点中学段考]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．

[能力挑战]
11．[2021·黄冈中学、华师附中等八校联考]已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且·＝2(O为坐标原点)，若△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2，则S1＋4S2的最小值是(　　)
A.B．6
C．2D．4
12．[2021·山西省六校高三阶段性测试]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，交准线于点P，且＝，则该直线在y轴上的截距为________，|AF|＋|BF|＝________.
13．[2021·河北省九校高三联考试题]已知抛物线C：x2＝8y的准线与y轴交于点A，焦点为F，点P是抛物线C上任意一点，令t＝，当t取得最大值时，直线PA的斜率是________．

课时作业53
1．解析：易知以直线x＝1为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上，且抛物线开口向左，所以y2＝－4x，故选D.
答案：D
2．解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M的横坐标xM＝9，即点M到y轴的距离是9，选C.
答案：C
3．解析：四边形ABDC为直角梯形，取CD的中点为N，连接MN，则MN为梯形ABDC的中位线，所以|MN|＝(|AC|＋|BD|)，且MN⊥CD.由抛物线的定义得|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，所以|MN|＝|AB|.设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝，所以sinα＝，所以|CD|＝|AB|sinα＝|AB|，则|CN|＝|DN|＝|AB|，所以|MC|＝|MD|＝＝|AB|，所以|MC|＝|MD|＝|CD|，则△CDM为等边三角形．故选C.
答案：C
4．解析：由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方．由得D(2，2)，E(2，－2)，∵OD⊥OE，∴·＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦点坐标为，故选B.
答案：B
5．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据抛物线的定义，知|MN|＝－(x1＋x2)＋p＝16.又MN的中点到y轴的距离为6，∴－＝6，∴x1＋x2＝－12，∴p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝－8x，故A错误；抛物线C的准线方程是x＝2，故B错误；设直线l的方程是x＝my－2，联立消去x得y2＋8my－16＝0，则
∴x1＋x2＝－8m2－4＝－12，解得m＝±1，故直线l的方程是x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0，故C错误；抛物线C的焦点为F(－2,0)，S△MON＝|OF|·|y1－y2|＝×2＝＝8，故D正确．故选D.
答案：D
6．解析：

如图，设△AOB的边长为a，则A，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以a2＝3×a，所以a＝6.
答案：6
7．解析：抛物线C：y2＝12x的焦点为(3,0)，当直线l的斜率不存在时，弦长为12，不合题意，故直线l的斜率存在，设为k，则直线l：y＝k(x－3)，由，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，Δ＝(6k2＋12)2－4k2×9k2＝144(k2＋1)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋6＝16，∴k2＝3，k＝±，∴直线l的倾斜角等于或.
答案：或
8．解析：解法一　依题意得抛物线的焦点F的坐标为，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|.因为|FM|:|MN|＝1:2，所以|KN|:|KM|＝:1，又kFN＝＝－，kFN＝－＝－，所以－＝－，解得a＝.
解法二　因为A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，准线方程为x＝－，所以AF的方程为4x＋ay－a＝0，所以N.因为|FM|:|MN|＝1:2，所以|FM|＝|FN|，所以xM＝，yM＝.因为(xM，yM)在抛物线上，所以＝，得a＝.
答案：
9．解析：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，
得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256＞0，得a＞0或a＜－32.
又x1＋x2＝，x1x2＝4，
所以|AB|＝
＝＝3
所以5＝45，
所以a＝4或a＝－36.
故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
10．解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.　①
(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，
∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，
联立，得结合①式，解得即N(pk，－1)．
|AB|＝|x2－x1|＝＝·，
点N到直线AB的距离d＝＝，
则S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当且仅当k＝0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，
∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
11．解析：依题意，设直线AB的方程为x＝ty＋m，联立直线与抛物线方程，得，消去x，得y2－ty－m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－m，因为·＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，即(y1y2)2＋y1y2－2＝0，因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1y2＜0，解得y1y2＝－2，所以m＝2，所以直线AB过点(2,0)，不妨设点A在x轴的上方，则y1＞0，因为F，所以S1＋4S2＝×2×(y1－y2)＋4××y1＝＋≥2，当且仅当＝且y1>0，即y1＝时等号成立．
答案：C
12．解析：

设斜率为2的直线方程为y＝2x＋b，代入y2＝4x，得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，Δ＝(4b－4)2－16b2＞0，即b＜.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1－b，x1x2＝.由＝，得＝.如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点C，D，则＝，易得|AC|＝x1＋1，|BD|＝x2＋1，所以＝，根据x1＋x2＝1－b，得x1＝，x2＝，代入x1x2＝，得9b2＋44b＋32＝0，解得b＝－4或b＝－，则x1＋x2＝5或.又|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，所以|AF|＋|BF|的值为7或.
答案：－4或－　7或
13．解析：通解　由题意知A(0，－2)，F(0,2)，过点P作PB⊥l(l为抛物线的准线)，垂足为B.由抛物线的定义可知|PF|＝|PB|.令∠PAB＝α，则t＝＝＝，当sinα最小时，t最大．当直线PA与抛物线x2＝8y相切时，sinα最小，即t最大．设P，由于y′＝，所以在点P处切线的斜率k＝，所以在点P处的切线方程为y－＝(x－x0)，又切线过A(0，－2)，所以－2－＝－，解得x0＝±4，所以当t取得最大值时，直线PA的斜率为±1.
优解　由题意知A(0，－2)，F(0,2)，过点P作PB⊥l(l为抛物线的准线)，垂足为B.由抛物线的定义可知|PF|＝|PB|.令∠PAB＝α，则t＝＝＝，当sinα最小时，t最大．当直线PA与抛物线x2＝8y相切时，sinα最小，即t最大．根据过准线上任一点作抛物线的两条切线互相垂直，知过点A(0，－2)作抛物线的两切线关于y轴对称，且互相垂直，即两切线的斜率为±1，所以当t取得最大值时，直线PA的斜率为±1.
答案：±1