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2022版高考数学大一轮复习 第9章 直线和圆的方程 第1讲 直线方程与两直线的位置关系备考试题

2022版高考数学大一轮复习 第9章 直线和圆的方程 第1讲 直线方程与两直线的位置关系备考试题

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第九章　直线和圆的方程
第一讲　直线方程与两直线的位置关系
练好题·考点自测
1.[改编题]下列说法正确的是(　　)
A.直线的倾斜角越大,其斜率越大
B.若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α
C.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
D.直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离
2.[2020全国卷Ⅱ,8,5分][文]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　　)
A.55 B.255 C.355 D.455
3.[2021安徽示范高中联考]已知点(1,-1)关于直线l1:y=x的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为(　　)
A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0
C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0
4.[2016浙江,4,5分]若平面区域x+y-3≥0,2x-y-3≤0,x-2y+3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)
A.355 B.2 C.322 D.5
5.[2016四川,10,5分][文]设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0<x<1,lnx,x>1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,2)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
6.[2020四川五校联考]过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y-5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,∠APB=(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.[2021上海模拟]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为　　　　. 
8.[2021山西摸底测试]已知a>0,b>0,若直线(a-1)x+2y-1=0与直线x+by=0互相垂直,则ab的最大值是　　　　　　. 

拓展变式
1.(1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=　　　　. 
(2)过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程为　　　　. 

2.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,
(1)求过点(-1,3),且与l平行的直线l'的方程;
(2)求过点(-1,3),且与l垂直的直线l'的方程;
(3)若直线l'与l垂直,且l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l'的方程.

3.(1)[2020全国卷Ⅲ,8,5分][文]点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.2
(2)[2020黑龙江哈尔滨模拟]若直线y=-33x+1和x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC.若在第一象限内有一点P(m,12),使得△ABP和△ABC的面积相等,则m的值为(　　)
A.332 B.23 C.532 D.33

答 案
第九章　直线和圆的方程
第一讲　直线方程与两直线的位置关系

1.C　对于选项A,当直线的倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率k1<k2,故选项A错误;对于选项B,tanα中的 α不一定在[0,π)内,倾斜角α必在[0,π)内,故选项B错误;对于选项D,截距不是距离,截距可为正数、负数或零,而距离只能是零或正数,选C.
2.B　因为圆与两坐标轴都相切,点(2,1)在该圆上,所以可设该圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为|2×1-1-3|22+(-1)2=255或|2×5-5-3|22+(-1)2=255,故选B.
3.B　易知A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又-1kAB=32,所以直线l2的方程为y-1=32(x+1),即3x-2y+5=0.故选B.
4.B　不等式组x+y-3≥0,2x-y-3≤0,x-2y+3≥0表示的平面区域如图D 9-1-1中阴影部分所示,其中A(1,2),B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A,点B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为-1,所以线段AB的长度就是分别过A,B两点的两平行直线间的距离,易得|AB|=2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B.

图D 9-1-1
5.A　不妨设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2),P(xP,yP),由于l1⊥l2,所以1x1×(-1x2)=-1,则x1=1x2.又切线l1:y-ln x1=1x1(x-x1),l2:y+ln x2=-1x2(x-x2),于是A(0,ln x1-1),B(0,1+ln x1),所以|AB|=2.由y-lnx1=1x1(x-x1),y+lnx2=-1x2(x-x2),解得xP=2x1+1x1,所以S△PAB=12×2×xP=2x1+1x1.因为x1>1,所以x1+1x1>2,所以S△PAB的取值范围是(0,1),故选A.
6.C　解法一　如图D 9-1-2,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满足l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必然垂直于直线y=-x,所以线段PC所在直线的斜率kPC=1,则线段PC所在的直线l:y-5=x+1,即y=x+6,与y=-x联立,得P(-3,3).
所以|PC|=(-1+3)2+(5-3)2=22.设∠APC=α,则∠APB=2α,在△APC中,sin α=|AC||PC|=222=12,故α=30°,所以∠APB=2α=60°.故选C.

图D 9-1-2
解法二　如图D 9-1-2,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满足l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必然垂直于直线y=-x,所以|PC|=412+12=22,易知圆的半径r=2,sin∠APC=|AC||PC|=12,则∠APC=30°,所以∠APB=60°.故选C.
7.3x-2y=0或x-y+1=0　 当直线过原点时,直线的斜率为k=3-02-0=32,此时直线方程为y=32x,即3x-2y=0.当直线不过原点时,设直线方程为xa+y-a=1,把(2,3)代入可得a=-1,此时直线方程为x-y+1=0.故填3x-2y=0或x-y+1=0.
8.18　由两条直线互相垂直得(a-1)×1+2b=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以ab=12(a·2b)≤12(a+2b2)2=18,当且仅当a=12,b=14时取等号.故ab的最大值是18.

1.(1)12　由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,因为0<a<2,所以2-a>0,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=12×2(2-a)+12×2(a2+2)=a2-a+4=(a-12)2+154,所以当a=12时,面积最小.
(2)21x-28y-13=0或x=1　因为A,B到直线7x-21y-1=0的距离不相等,所以可设所求直线方程为2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,
即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,
由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线的距离相等,可得
|(2+7λ)×(-3)+(7-21λ)×1-4-λ|(2+7λ)2+(7-21λ)2=
|(2+7λ)×5+(7-21λ)×7-4-λ|(2+7λ)2+(7-21λ)2,
整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=13,所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.
2.(1)解法一　直线l的方程可化为y=-34x+3,可知l的斜率为-34,因为l'与l平行,所以直线l'的斜率为-34.
又l'过点(-1,3),所以由点斜式得直线l'的方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.
解法二　由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),
将(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直线方程为3x+4y-9=0.
(2)解法一　直线l的方程可化为y=-34x+3,可知l的斜率为-34,因为l'与l垂直,所以直线l'的斜率为43.
又l'过点(-1,3),所以由点斜式得直线方程为y-3=43(x+1),
即4x-3y+13=0.
解法二　由l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0,
将(-1,3)代入,得n=13,于是所求直线方程为4x-3y+13=0.
(3)由l'与l垂直,可设直线l'的方程为4x-3y+p=0,
则l'在x轴上的截距为-p4,在y轴上的截距为p3.
由题意可知,l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=12·|p3|·|-p4|=4,求得p=±46.
所以直线l'的方程为4x-3y+46=0或4x-3y-46=0.
3.(1)B　记点A(0,-1),直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0),当AB垂直于直线y=k(x+1)时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|=2,故选B.
(2)C　 过点C作直线l,使l∥AB,则点P在直线l上.由题意易知,A(3,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=22-12=3.直线AB的方程可化为3x+3y-3=0,由△ABP和△ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即|3m+3×12-3|(3)2+32=3,解得m=-332或m=532.因为点P在第一象限,所以m=532.故选C.