2022高考数学一轮复习-第七章-不等式、推理与证明-7.4-综合法、分析法、反证法学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.4 综合法、分析法、反证法学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.4 综合法、分析法、反证法学案北师大版

年级：
姓名：

7.4　综合法、分析法、反证法
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.综合法与分析法

内容
综合法
分析法
定义
从命题的　　　　出发,利用　　　　　　　　,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的　　　　,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法. 
从　　　　　　出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的　　　　　,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法. 
实质
由因导果
执果索因
框图
表示
P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒Q
Q⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显
成立的条件
文字
语言
因为……所以……
或由……得……
要证……只需证……
即证……

2.反证法
(1)反证法的定义:在假定命题结论　　　　　的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法. 
(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.(　　)
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(　　)
(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.(　　)
(4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.(　　)
(5)证明不等式2+7<3+6最合适的方法是分析法.(　　)
2.命题:“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明过程“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)·(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”应用了(　　)

A.分析法
B.综合法
C.综合法与分析法结合使用
D.反证法
3.用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时,首先要作出的假设是(　　)
A.四个内角都大于90°
B.四个内角中有一个大于90°
C.四个内角都小于90°
D.四个内角中有一个小于90°
4.(2020四川树德中学期中)欲证2-3<5-6成立,只需证(　　)
A.(2-3)2<(5-6)2
B.(2-5)2<(3-6)2
C.(2+6)2<(3+5)2
D.(2-3-5)2<(-6)2
5.(2020吉林油田十一中月考)比较大小:3-22　　　　 10-7(填“>”“<”或“=”).
关键能力学案突破　

考点
综合法的应用

【例1】若x,y,z是互不相等的实数,且x+1y=y+1z=z+1x,求证:x2y2z2=1.
思考综合法的适用题型是哪些?综合法证明问题是怎样实现的?

解题心得1.综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.
2.综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法,因此要保证前提条件正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确性.其过程一般是从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.
对点训练1已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:
(1)a+b+c≤3;
(2)13a+1+13b+1+13c+1≥32.

考点
分析法的应用

【例2】已知非零向量a,b,且a⊥b,用分析法证明:|a|+|b||a+b|≤2.
思考分析法的证明思路是什么,适用于何种题型?

解题心得1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.
2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.
3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.
对点训练2(2020陕西临潼期末)证明:(1)6+10>2+14;
(2)如果a,b>0,则lga+b2≥lga+lgb2.

考点
反证法的应用

【例3】设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明:数列{an+1}不是等比数列.
思考证明否定性问题的思路是什么?

解题心得对于含有否定概念的命题,直接证明不好证,但问题的反面比较具体易证,一般利用补集法或反证法解答证明.先假设肯定结论成立,然后根据有关的概念、定理、定义、推出与已知、公理、定理等有矛盾,从而说明原命题成立.
对点训练3(2020河南新安一高月考)(1)已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:1+2yx与1+2xy中至少有一个小于3.
(2)当a+b>0时,求证:a2+b2≥22(a+b).

1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.
2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.
3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推理;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.

7.4　综合法、分析法、反证法
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.条件　定义、公理、定理及运算法则
结论　求证的结论　充分条件
2.(1)反面成立
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.B　在证明的过程中使用了平方差公式,以及同角的三角函数的关系式,符合综合法的定义,故证明过程使用了综合法.
故选B.
3.C　首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90°”,即为“凸四边形的四个内角都小于90°”.故选C.
4.C　根据题意,欲证2-3<5-6,则需证2+6<3+5,即只需证(2+6)2<(3+5)2.故选C.
5.<　平方后再比较.然后用综合法写出过程即可.∵72>70,∴272>270,即122>270,∴17-122<17-270,
即(3-22)2<(10-7)2,∴3-22<10-7.
关键能力·学案突破
例1证明∵x+1y=y+1z,∴x-y=1z-1y,∴x-y=y-zyz,即yz=y-zx-y.
∵x+1y=z+1x,∴x-z=1x-1y,
∴x-z=y-xxy,即xy=y-xx-z.同理可得xz=z-xy-z.∴x2y2z2=(xy)(xz)(yz)=y-xx-z×z-xy-z×y-zx-y=1.
对点训练1证明(1)∵13a≤13+a2,13b≤13+b2,13c≤13+c2,

∴13(a+b+c)≤3×13+a+b+c2=1,∴a+b+c≤3,当且仅当a=b=c=13时取等号.
(2)∵3b+13a+1+3a+13b+1≥2,
3c+13a+1+3a+13c+1≥2,3c+13b+1+3b+13c+1≥2,
∴3b+3c+23a+1+3a+3c+23b+1+3a+3b+23c+1≥6,
∴3(a+b+c)+33a+1+3(a+b+c)+33b+1+3(a+b+c)+33c+1≥9,
即63a+1+63b+1+63c+1≥9,
∴13a+1+13b+1+13c+1≥96=32.
当且仅当a=b=c=13时等号成立.
例2证明若证原不等式|a|+|b||a+b|≤2.
只需证|a|+|b|≤2|a+b|,
只需证(|a|+|b|)2≤(2|a+b|)2,
即证a2+b2+2|a||b|≤2a2+2b2+4a·b.
因为非零向量a,b,且a⊥b,所以a·b=0,即证2|a||b|≤a2+b2,
即证(|a|-|b|)2≥0,显然成立.
所以原不等式成立.
对点训练2证明(1)要证6+10>2+14,只要证(6+10)2>(2+14)2,
即260>228,显然成立的,所以,原不等式成立.
(2)当a>0,b>0时,要证lga+b2≥lga+lgb2,只要证lga+b2≥lgab,因为函数y=lgx在(0,+∞)上递增,即证a+b2≥ab>0,此不等式显然成立,当且仅当a=b时等号成立.所以lga+b2≥lga+lgb2.
例3(1)解设{an}的前n项和为Sn,则当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,
∴Sn=a1(1-qn)1-q,
∴Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q,q≠1.
(2)证明假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
ak+12+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
a12q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.
∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾.∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
对点训练3证明(1)(反证法)假设结论不成立,即有1+2yx≥3,且1+2xy≥3,由已知x>0,y>0,所以有1+2y≥3x,且1+2x≥3y,故2+2x+2y≥3x+3y,化简得2≥x+y,
与已知x+y>2矛盾,假设不成立.所以1+2yx与1+2xy中至少有一个小于3成立.
(2)(分析法)要证a2+b2≥22(a+b),只需证(a2+b2)2≥[22(a+b)]2,即证a2+b2≥12(a2+b2+2ab),即证a2+b2≥2ab.因为a2+b2≥2ab对一切实数恒成立,所以a2+b2≥22(a+b)成立.