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2022版高考数学大一轮复习 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲 函数模型及其应用备考试题

2022版高考数学大一轮复习 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲 函数模型及其应用备考试题

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第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ
第八讲　函数模型及其应用
练好题·考点自测
1.[改编题]下列说法正确的是(　　)
A.函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大
B.不存在x0,使ax0<x0n<logax0
C.在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度
D.“指数爆炸”是对指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)的增长速度越来越快的形象比喻
2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(　　)
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y=2x-2 B.y=12(x2-1)
C.y=log2x D.y=log12x
3.下列函数中,随着x的增大,y也增大,且增长速度最快的是(　　)
A.y=0.001ex B.y=1 000ln x
C.y=x1 000 D.y=1 000·2x
4.[2020全国卷Ⅱ,4,5分][文]在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者(　　)
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
5.[2020山东,6,5分]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
6.[2017北京,8,5分][文]根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(　　)
(参考数据:lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
拓展变式
1.[四川高考,5分]某食品的保鲜时间y(单位:时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是　　　　小时. 
2.[2020江苏南通第二次调研]中国高铁的快速发展给群众的出行带来巨大便利,极大地促进了区域经济社会的发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤25,t∈N*,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t有关:当20≤t≤25时,高铁为满载状态,载客量为1 000人;当5≤t<20时,载客量会在满载的基础上减少,减少的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时高铁的载客量为100人.记发车时间间隔为t分钟时,高铁的载客量为P(t).
(1)求P(t)的表达式;
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2 000,当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益Q(t)t最大?

3.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图2-8-2),考虑防洪堤的坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为93平方米,且高度不低于3米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤横断面的腰长为　　　　米. 

图2-8-2
4.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:时)之间近似满足如图2-8-3所示的曲线.
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);
(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.

图2-8-3

答 案
第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ
第八讲　函数模型及其应用

1.C　当x=2时,函数y=2x的函数值与y=x2的函数值相等,排除A;当a=x0=12,n=14时,不等式成立,排除B;“指数爆炸”是对指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)的增长速度越来越快的形象比喻,排除D.选C.
2.B　由题中表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,分析选项可知B符合,故选B.
3.A　在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增长速度最快,故排除B,C;指数函数中,当底数大于1时,底数越大,函数的增长速度就越快,故选A.
4.B　由题意知超市第二天能完成1 200份订单的配货,如果没有志愿者帮忙,则超市第二天会积压超过500+(1 600-1 200)=900(份)订单的概率为0.05,因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,至少需要志愿者90050=18(名),故选B.
5.B　∵R0=1+rT,∴3.28=1+6r,∴r=0.38.若I(t1)=e0.38t1,I(t2)=e0.38t2,I(t2)=2I(t1),则e0.38(t2-t1)=2,0.38(t2-t1)=ln 2≈0.69,t2-t1≈1.8,故选B.
6.D　因为lg 3361=361×lg 3≈361×0.48≈173,所以M≈10173,则MN≈101731080=1093,故选D.

1.24　由题意得eb=192,e22k+b=48,即eb=192,e11k=12,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k+b=(e11k)3·eb=(12)3×192=24.
2.(1)当5≤t<20时,设P(t)=1 000-k(20-t)2(k≠0),
因为P(5)=100,所以1 000-k(20-5)2=100,解得k=4.
因此P(t)=1000-4(20-t)2,5≤t<20,t∈N*,1000,20≤t≤25,t∈N*.
(2)①当5≤t<20时,Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2 000=-t3+500t-2 000,因此y(t)=Q(t)t=-t2-2000t+500,5≤t<20.
因为y'(t)=-2t+2000t2=-2(t3-1000)t2,当5≤t<10时,y'(t)>0,y(t)单调递增,当10<t<20时,y'(t)<0,y(t)单调递减,
所以y(t)max=y(10)=200.
②当20≤t≤25时,Q(t)=-40t2+900t-2 000,
因此y(t)=Q(t)t=900-40(t+50t),20≤t≤25.
因为y'(t)=-40(t2-50)t2<0,所以y(t)在[20,25]上单调递减,
所以y(t)max=y(20)=0.
综上,当发车时间间隔为10分钟时,单位时间的净收益Q(t)t最大.
3.23　设横断面的高为h米.根据题意知,93=12(AD+BC)h,其中AD=BC+2·x2=BC+x,h=32x,所以93=12(2BC+x)·32x,得BC=18x-x2,由h=32x≥3,BC=18x-x2>0,得2≤x<6.所以y=BC+2x=18x+3x2≥218x·3x2=63,当且仅当18x=3x2,即x=23时取等号.故所求防洪堤横断面的腰长为23米.
4.(1)由题图,设y=kt,0≤t≤1,(12)t-a,t>1.
当t=1时,由y=4,得k=4,
由(12)1-a=4,得a=3.
所以y=4t,0≤t≤1,(12)t-3,t>1.
(2)由y≥0.25得0≤t≤1,4t≥0.25 或t>1,(12)t-3≥0.25,解得116≤t≤5.
故服药一次后治疗疾病有效的时间是5-116=7916(时).