高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析.doc
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在基础和跨越间架设金桥 在起步和成功间开辟通道 高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题 一、选择题 1.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 2.已知锐角△ABC的面积为3,BC=4,CA=3,则角C的大小为 ( ) A.75° B.60° C.45° D.30° 3.(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 5.(2010·湖南高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c= a,则 ( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a与b大小不能确定 二、填空题 6.△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,已知a=,b=3,C=30°,则A=________. 7.(2010·山东高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,sin B+cos B =,则角A的大小为________. 8.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为 ________. 三、解答题 9.△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2-c2=2b,且sin B=4cos Asin C,求b. 10.在△ABC中,已知a2+b2=c2+ab. (1)求角C的大小; (2)又若sin Asin B=,判断△ABC的形状. 11.(2010·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积, 且S=(a2+b2-c2). (1)求角C的大小; (2)求sin A+sin B的最大值. 答案及解析 1.【解析】由余弦定理cos B=,由a2+c2-b2=ac,∴cos B=,又0<B<π,∴B=. 【答案】A 2.【解析】S△ABC=×3×4sin C=3,∴sin C=. ∵△ABC是锐角三角形,∴C=60°. 【答案】B 3.【解析】由sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,得a∶b∶c=5∶11∶13,不妨令a=5,b=11,c=13. ∴c2>a2+b2=52+112=146,∴c2>a2+b2,根据余弦定理,易知△ABC为钝角三角形. 【答案】C 4.【解析】不妨设底面边长为1,则两腰长的和为4,一个腰长为2,由余弦定理得顶角的余弦值为 =. 【答案】D 5.【解析】∵∠C=120°,c=a,∴由余弦定理,得(a)2=a2+b2-2abcos 120°,故ab=a2-b2= (a-b)(a+b)>0,∴a-b>0,故a>b. 【答案】A 6.【解析】∵c2=a2+b2-2abcos C=3,∴c=,∴a=c,则A=C=30°. 【答案】30° 7.【解析】∵sin B+cos B=sin(B+)=,∴sin(B+)=1,∴B=. 又=,得sin A=, A=. 【答案】 8.【解析】∵A,B,C成等差数列,且A+B+C=π,∴2B=A+C,∴B=,又BD=BC=2, ∴在△ABD中,AD==. 【答案】 9.【解析】法一 ∵sin B=4cos Asin C,由正弦定理,得=4cos A,∴b=4ccos A,由余弦定理 得b=4c·,∴b2=2(b2+c2-a2),∴b2=2(b2-2b),∴b=4. 法二 由余弦定理,得a2-c2=b2-2bccos A,∵a2-c2=2b,b≠0,∴b=2ccos A+2,① 由正弦定理,得=,又由已知得,=4cos A,∴b=4ccos A.② 解①②得b=4. 10.【解析】(1)由题设得a2+b2-c2=ab,∴cos C===,又C∈(0,π),∴C=. (2)由(1)知A+B=π,∴cos(A+B)=-,即cos Acos B-sin Asin B=-. 又sin Asin B=, ∴cos Acos B=-=,从而cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B=1,由A,B∈(0,π),∴A-B=0,即A=B,从而△ABC为等边三角形. 11.【解析】(1)由题意可知absin C=·2abcos C,所以tan C=. 因0<C<π,故C=. (2)由已知sin A+sin B=sin A+sin(π-C-A)=sin A+sin(-A)=sin A+cos A+sin A =sin(A+),∵C=,∴0<A<,∴<A+<,∴当A+=,即A=时,sin(A+) 取最大值. ∴sin A+sin B的最大值为. 第 4 页 共 4 页- 配套讲稿:
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