湖北省部分重点中学2013届高三上学期期中联考数学理试题.doc

2012年秋季湖北省部分重点中学期中联考
高三数学理科试卷
命题学校:天门中学 命题教师：陈铁柱 审题教师：李堃
考试时间：2012年11月19日上午8：00-10：00 试卷满分：150分

第Ⅰ卷（选择题,共50分）
一、选择题:（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡相应的位置）．
1．设数列{xn｝满足lnxn＋1＝1＋lnxn,且x1＋x2＋x3＋…＋x10＝10。则x21＋x22＋x23＋…＋x30的值为 (　　）
A．11·e20　　 B．11·e21　　 C．10·e21　　 D．10·e20

2．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若＝a1 ＋a2009，且A、B、C三点共线(O为该直线外一点)，则S2009等于 （　　)
A．2009　　　 B.　　　 C．22009　　　 D．2－2009

3．在锐角△ABC中，若，则的取值范围是( ）
A．（－1，1） B．（1，+∞） C．（ D．）
4设，,，则大小关系（ ）
A。 B。 C。 c<a<b D。

5．已知函数f（x)＝2sin（wx＋φ)(w＞0，0＜φ＜π),且函数的图象如图所示,则点(w，φ）的坐标是 (　　）

A．(2,) B．（4，）
C．(2,） D．(4，）

6．设0＜x＜1，a,b都为大于零的常数，则＋的最小值为 (　　)
A．(a－b）2 B．(a＋b）2
C．a2b2 D．a2

7．已知数列{an｝为等差数列,若,且它们的前n项和为Sn有最大值，则使得Sn＜0的n的最小值为（ )
A．11 B．19 C．20 D．21
8．设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“＊”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应)．已知对任意的,有；则对任意的，给出下面四个等式:
（1） （2） （3） （4） 上面等式中恒成立的有( )
A．（1）、（3） B．（3）、(4）
C．（2）、（3)、（4） D．（1)、（2）、(3）、（4)

9．设奇函数f（x ）在[—1，1]上是增函数,且f (—1)= 一1，若函数,f （x ）≤t 2一2 a t+l对所有的x∈[一1,1]都成立,则当a∈[—1，1］时,t 的取值范围是 （ ）
A．一2≤t≤2 B ≤t≤ C。t≤一2或t = 0或t≥2 D．t≤或t=0或t≥

10．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4,动点P在以点C为圆心，1为半径的圆上，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a＝1，∠B＝45°，△ABC的面积S＝2，那么△ABC的外接圆的直径等于__________．

12.若函数在区间（）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则实数的取值范围是_____ ______。

13 已知是偶函数，当时， 则关于的不等式
的解集是___________
14、已知A、B、C是平面上不共线的三点,O为△ABC的外心,动点P满（λ∈R）, 则P的轨迹一定过△ABC的__________
15.设N=2n（n∈N*,n≥2）,将N个数x1，x2，…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前个数和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN—1x2x4…xN，
将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换,得到P2当2≤i≤n—2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如,当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置。
（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置。

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）已知A、B、C三点的坐标分别是A(3，0）、B（0，3)，C(cosα，sinα）,其中＜α＜。
（1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．

17（本小题满分12分）用向量的方法证明三角形的三条高线交于一点。

18．（本小题满分12分）已知命题“”；命题“：函数 在上有极值”. 求使“且"为真命题的实数m 的 取值范围.

19．（本小题满分12分）设函数的图象在x=2处的切线与直线x－5y－12=0垂直．
（Ⅰ)求函数的极值与零点；
（Ⅱ）设,若对任意，存在，使成立,求实数的取值范围;

20．（本小题满分13分） 在△ ABC中，分别为角A、B、C的对边，，=3,△ ABC的面积为6，D为△ ABC内任一点,点D到三边距离之和为d。
（1）求角A的正弦值； （2）求边b、c; (3）求d的取值范围。

21．（本题满分14分)顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点，过点作抛物线的切线交x轴于点B1，过点B1作x轴的垂线交抛物线于点A1,过点A1作抛物线的切线交x轴于点B2，…，过点作抛物线的切线交x轴于点．
（1）求数列｛ xn ｝，{ yn｝的通项公式；
（2）设，数列｛ an}的前n项和为Tn．求证：;
第21题图
（3)设，若对于任意正整数n，不等式…≥成立，求正数a的取值范围．

2012年秋季湖北省部分重点中学期中联考
高三数学试卷答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D

C
D
B
C
C
C
B
2；三点共线,系数和为1. 4:平方法。7：
10:圆的参数方程的应用
二、填空题：
11， 5 。 12 , （补集法）。 13,. 14，重心。
15

三、解答题
16，解析：（1)＝(cosα－3，sinα），＝(cosα，sinα－3)，
∵｜|＝||，∴｜|2＝｜｜2,
即（cosα－3）2＋sin2α＝cos2α＋(sinα－3）2，
化简得sinα＝cosα。
∵＜α＜，∴α＝。 -—--—-——---—-6分
（2)－1＝·＝cosα(cosα－3）＋sinα(sinα－3)＝1－3(sinα＋cosα）,
∴sinα＋cosα＝.
于是2sinα·cosα＝(sinα＋cosα）2－1＝－,
故＝＝2sinα·cosα＝－。 ———--—-—--—---12分
17解析：如图所示，在中作 于，于，与交于 ,连接, 只需证，即---—-—-—----4分
证明：
同理
展开 ----—--8分
即
∴三角形的三条高线交于一点。 —----—-----—12分

F
E
C

18．解:，只需小于的最小值,而当时，≥3 ———-—-—-—-——--—-6分
存在极值有两个不等的实根, 或，要使“P且Q”为真，只需 ——-————-—---——-12分

19．解:（Ⅰ）因为，所以,
解得:或,又，所以， ………2分
由，解得，，列表如下：

1

0

0

极小值

极大值2

所以，， ………4分
因为，
所以函数的零点是． ………6分
(Ⅱ）由（Ⅰ)知，当时，，
“对任意,存在，使”等价于“在上的最小值大于在上的最小值,即当时,”, ………6分
因为，
① 当时，因为，所以,符合题意；
② 当时，，所以时,，单调递减，
所以，符合题意；
③ 当时，，所以时,，单调递减，时，，单调递增，所以时，，
令（），则，所以在上单调递增,所以时，，即，
所以，符合题意，
综上所述，若对任意，存在,使成立，
则实数的取值范围是． ………12分
20，解：(1） ———---—--————-3分
（2)，20

由及20与=3解得b=4，c=5或b=5，c= 4 ———-———-———-----———-—8分
(3)设D到三边的距离分别为x、y、z,则

又x、y满足
画出不等式表示的平面区域得： -—---—-——--—13分
21．(1）由已知得抛物线方程为． ………………………………………2分
则设过点的切线为．
令，故．
又，所以，． ……………………………………………4分
(II）由（1)知．
所以
++1+
) ．……………………………………………6分
由,，
得．
所以)）．…………………………7分
从而

,
即．…………………………………………………………………9分
（III）由于，故．
对任意正整数n，不等式成立,
即恒成立．
设，………………………………10分
则．
故==

所以，故递增．…………………………………………12分
则．
故．…………………………………………………………………14分