大学物理学标准答案-(第3版-修订版)-上册-北京邮电大学(完全版).doc

zz大学物理习题及解答
习题一
1．6 ｜｜与有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试举例说明．
解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；
（2）是速度的模，即.
只是速度在径向上的分量.
∵有（式中叫做单位矢），则
式中就是速度径向上的分量，
∴不同如题1-1图所示.
题1-1图
(3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.
∵有表轨道节线方向单位矢），所以

式中就是加速度的切向分量.
(的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
1．7 设质点的运动方程为=()，=()，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝，然后根据=，及＝而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
=及=
你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有，

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1．8 一质点在平面上运动，运动方程为
=3+5, =2+3-4.
式中以 s计，,以m计．(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算＝0 s时刻到＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算＝4 s 时质点的速度；(5)计算＝0s 到＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1）
(2)将,代入上式即有

(3)∵
∴
(4)
则
(5)∵

(6)
这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。
1．9 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 ＝2+6，的单位为，的单位为 m. 质点在＝0处，速度为10,试求质点在任何坐标处的速度值．
解： ∵
分离变量：
两边积分得
由题知，时，,∴
∴
1．10 已知一质点作直线运动，其加速度为 ＝4+3，开始运动时，＝5 m，=0，求该质点在＝10s 时的速度和位置．
解：∵
分离变量，得
积分，得
由题知，,,∴
故
又因为
分离变量，
积分得
由题知 ,,∴
故
所以时

1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3，式中以弧度计，以秒计，求：(1) ＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
解：
(1)时，

(2)当加速度方向与半径成角时，有
即 亦即
则解得 于是角位移为
1.12 质点沿半径为的圆周按＝的规律运动，式中为质点离圆周上某点的弧长,，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等于．
解：（1）

则
加速度与半径的夹角为

(2)由题意应有

即
∴当时，
1.14 一船以速率＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率＝40km·h-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
解：(1)大船看小艇，则有，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)

题1-13图
由图可知
方向北偏西
(2)小船看大船，则有，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得

方向南偏东
习题二
2.7 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为的物体，另一边穿在质量为的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度下滑，求，相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．
解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为，其对于则为牵连加速度，又知对绳子的相对加速度为，故对地加速度，由图(b)可知，为
①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力在数值上等于绳的张力，由牛顿定律，有
②
③
联立①、②、③式，得

讨论 (1)若，则表示柱体与绳之间无相对滑动．
(2)若，则，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时, 均作自由落体运动．

题2-1图
2.8 一个质量为的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平线平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：取方向为轴，平行斜面与轴垂直方向为轴.如图2-2.

题2-2图
方向： ①
方向： ②
时

由①、②式消去，得

2.9 质量为16 kg 的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为＝6 N，＝-7 N，当＝0时，0，＝-2 m·s-1，＝0．求
当＝2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度．
解：

(1)

于是质点在时的速度

(2)

2．10 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力(为常数)作用，=0时质点的速度为，证明(1) 时刻的速度为＝；(2) 由0到的时间内经过的距离为
＝()［1-］；(3)停止运动前经过的距离为；(4)证明当时速度减至的，式中m为质点的质量．
答: (1)∵
分离变量，得

即

∴
(2)
(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，
故有
(4)当t=时，其速度为

即速度减至的.
2.11一质量为的质点以与地的仰角=30°的初速从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．
解: 依题意作出示意图如题2-6图
题2.11图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对轴对称性，故末速度与轴夹角亦为，则动量的增量为

由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下．
2.12 一质量为的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?
解: 由题知，小球落地时间为．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为，小球上跳速度的大小亦为．设向上为轴正向，则动量的增量
方向竖直向上，
大小
碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．
2.13 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度m·s-1的物体,回答这两个问题．
解: (1)若物体原来静止，则
,沿轴正向，

若物体原来具有初速，则
于是
,
同理， ,
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．
(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

亦即
解得，(舍去)
2.14 一质量为的质点在平面上运动，其位置矢量为

求质点的动量及＝0 到时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量．
解: 质点的动量为

将和分别代入上式，得
,,
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

2.15 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =()N(为常数)，其中以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
,得
(2)子弹所受的冲量

将代入，得

(3)由动量定理可求得子弹的质量

2.16 一炮弹质量为，以速率飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为，且一块的质量为另一块质量的倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为
+, -
证明: 设一块为，则另一块为，
及
于是得 ①
又设的速度为, 的速度为，则有
②
③
联立①、③解得
④
将④代入②，并整理得

于是有
将其代入④式，有

又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取

证毕．
2.17 设．(1) 当一质点从原点运动到时，求所作的功．(2)如果质点到处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．
解: (1)由题知，为恒力，
∴

(2)
(3)由动能定理，
2.18 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．
解: 以木板上界面为坐标原点，向内为坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为

题2-13图

第一锤外力的功为
①
式中是铁锤作用于钉上的力，是木板作用于钉上的力，在时，．
设第二锤外力的功为，则同理，有
②
由题意，有
③
即
所以，
于是钉子第二次能进入的深度为

2.19 设已知一质点(质量为)在其保守力场中位矢为点的势能为, 试求质点所受保守力的大小和方向．
解:
方向与位矢的方向相反，即指向力心．
2.20 一根劲度系数为的轻弹簧的下端，挂一根劲度系数为的轻弹簧，的下端
一重物，的质量为，如题2.20图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势
能之比．
解: 弹簧及重物受力如题2.20图所示平衡时，有

题2.20图

又

所以静止时两弹簧伸长量之比为

弹性势能之比为

2.21 (1)试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84×108m，月球质量7.35×1022kg，月球半径1.74×106m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在点的势能为多少?
解: (1)设在距月球中心为处，由万有引力定律，有

经整理，得

=

则点处至月球表面的距离为

(2)质量为的物体在点的引力势能为

2.22 如题2.22图所示，一物体质量为2kg，以初速度＝3m·s-1从斜面点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原
长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

式中，，再代入有关数据，解得

题2.22图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度

代入有关数据，得 ,
则木块弹回高度

题2.23图
2.23 质量为的大木块具有半径为的四分之一弧形槽，如题2.23图所示．质量为的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．
解: 从上下滑的过程中，机械能守恒，以，，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

又下滑过程，动量守恒，以,为系统则在脱离瞬间，水平方向有

联立，以上两式，得

2.24 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．
证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有

即 ①

题2.24图(a) 题2.24图(b)
又碰撞过程中，动量守恒，即有

亦即 ②
由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以为斜边，故知与是互相垂直的．
第三习题
3.7 一质量为的质点位于()处，速度为, 质点受到一个沿负方向的力的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩．
解: 由题知，质点的位矢为

作用在质点上的力为

所以，质点对原点的角动量为

作用在质点上的力的力矩为

3.8 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为＝8.75×1010m 时的速率是＝5.46×104m·s-1，它离太阳最远时的速率是＝9.08×102m·s-1这时它离太阳的距离多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

∴
3.10 物体质量为3kg，=0时位于, ，如一恒力作用在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对轴角动量的变化．
解: (1)
(2)解(一)

即 ,

即 ,
∴

∴
解(二) ∵
∴

题2-24图
3.10 平板中央开一小孔，质量为的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为时重物达到平衡．今在的下方再挂一质量为的物体，如题2-24图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径为多少?
解: 在只挂重物时，小球作圆周运动的向心力为，即
①
挂上后，则有
②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．
即
③
联立①、②、③得

3.11 飞轮的质量＝60kg，半径＝0.25m，绕其水平中心轴转动，转速为900rev·min-1．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：
(1)设＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?
(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力?
解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中、是正压力，、是摩擦力，和是杆在点转轴处所受支承力，是轮的重力，是轮在轴处所受支承力．

题3.11图（a）

题3.11图(b)
杆处于静止状态，所以对点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有

对飞轮，按转动定律有，式中负号表示与角速度方向相反．
∵
∴
又∵
∴ ①
以等代入上式，得

由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为

这段时间内飞轮的角位移为

可知在这段时间里，飞轮转了转．
(2)，要求飞轮转速在内减少一半，可知

用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为

3.12 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴转动．设大小圆柱体的半径分别为和，质量分别为和．绕在两柱体上的细绳分别与物体和相连，和则挂在圆柱体的两侧，如题3.12图所示．设＝0.20m, ＝0.10m，＝4 kg，＝10 kg，＝＝2 kg，且开始时，离地均为＝2m．求：
(1)柱体转动时的角加速度；
(2)两侧细绳的张力．
解: 设,和β分别为,和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．

题3.12(a)图 题3.12(b)图
(1) ,和柱体的运动方程如下：
①
②
③
式中
而
由上式求得

(2)由①式

由②式

3.13 计算题3.13图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为，半径为，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设＝50kg，＝200 kg,M＝15 kg, ＝0.1 m
解: 分别以,滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对,运用牛顿定律，有
①
②
对滑轮运用转动定律，有
③
又， ④
联立以上4个方程，得

题3.13(a)图 题3.13(b)图

题3.14图
3.14 如题3.14图所示，一匀质细杆质量为，长为，可绕过一端的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求：
(1)初始时刻的角加速度；
(2)杆转过角时的角速度.
解: (1)由转动定律，有

∴
(2)由机械能守恒定律，有

∴

题3.15图
3.15如题3.15图所示，质量为，长为的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度30°处．
(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速的值；
(2)相撞时小球受到多大的冲量?
解: (1)设小球的初速度为，棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
①
②
上两式中，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度，按机械能守恒定律可列式：
③
由③式得

由①式
④
由②式
⑤
所以

求得

(2)相碰时小球受到的冲量为

由①式求得

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．

题3.16图
3.16 一个质量为M、半径为并以角速度转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为的碎片从轮的边缘上飞出，见题3.16图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．
(1)问它能升高多少?
(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．
解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度

设碎片上升高度时的速度为，则有

令，可求出上升最大高度为

(2)圆盘的转动惯量，碎片抛出后圆盘的转动惯量，碎片脱离前，盘的角动量为，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即

式中为破盘的角速度．于是

得(角速度不变)
圆盘余下部分的角动量为

转动动能为

题3.17图

3.17 一质量为、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为的子弹以速度射入轮缘(如题3。17图所示方向)．
(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?
(2)用,和表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比．
解: (1)射入的过程对轴的角动量守恒

∴
(2)
3.18 弹簧、定滑轮和物体的连接如题3.18图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N·m-1；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m2，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．
解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有

又
故有

题3.18图
习题四
4.3 惯性系S′相对另一惯性系沿轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为=6×104m,=2×10-4s，以及=12×104m,=1×10-4s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2) 系中测得的两事件的空间间隔是多少?
解: 设相对的速度为，
(1)

由题意
则
故
(2)由洛仑兹变换
代入数值，
4.4 长度=1 m的米尺静止于S′系中，与′轴的夹角=30°，S′系相对S系沿轴运动，在S系中观测者测得米尺与轴夹角为45． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度．
解: (1)米尺相对静止，它在轴上的投影分别为：
，
米尺相对沿方向运动，设速度为，对系中的观察者测得米尺在方向收缩，而方向的长度不变，即

故
把及代入
则得
故
(2)在系中测得米尺长度为
4．5两个惯性系中的观察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果测得两者的初始距离是20m，则测得两者经过多少时间相遇?
解: 测得相遇时间为

测得的是固有时
∴
 ，
，
，
或者，测得长度收缩，

4.6 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系和中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求：
(1) 相对于的运动速度．
(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
解: 甲测得,乙测得，坐标差为′
(1)∴

解出

(2)
∴
负号表示．
4.7 6000m 的高空大气层中产生了一个介子以速度=0.998c飞向地球．假定该介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2×10-6s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和介子静止系中观测者来判断介子能否到达地球．
解: 介子在其自身静止系中的寿命是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为

这段时间飞行距离为
因，故该介子能到达地球．
或在介子静止系中，介子是静止的．地球则以速度接近介子，在时间内，地球接近的距离为
经洛仑兹收缩后的值为：

，故介子能到达地球．
4.8 设物体相对S′系沿轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速率是多少?
解: 根据速度合成定理，,
∴
4．9 飞船以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?
解: 取为系，地球为系，自西向东为()轴正向，则对系的速度，系对系的速度为，则对系(船)的速度为

发射弹是从的同一点发出，其时间间隔为固有时，

题3-14图
∴中测得的时间间隔为：

4.10 (1)火箭和分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+和-方向飞行．试求由火箭测得的速度．(2)若火箭相对地球以0.8c的速度向+方向运动，火箭的速度不变，求相对的速度．
解: (1)如图，取地球为系，为系，则相对的速度，火箭相对的速度，则相对()的速度为：

或者取为系，则，相对系的速度，于是相对的速度为：

(2)如图，取地球为系，火箭为系，系相对系沿方向运动，速度，对系的速度为,,,由洛仑兹变换式相对的速度为：

∴相对的速度大小为

速度与轴的夹角为

题3-15图
4.11 静止在S系中的观测者测得一光子沿与轴成角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的轴与轴一致，并以0.6c的速度沿方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何?
解: 系中光子运动速度的分量为

由速度变换公式，光子在系中的速度分量为

光子运动方向与轴的夹角满足

在第二象限为
在系中，光子的运动速度为
正是光速不变．
4.12 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?
解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得

J=
(2)
)

4.13 子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命=2×10-6s，若它在实验室参考系中的平均寿命= 7×10-6s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?
解: 设子静止质量为，相对实验室参考系的速度为，相应质量为，电子静止质量为，因
由质速关系，在实验室参考系中质量为：

故
4.14 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?
解: 设静止质量为，运动质量为，
由题设

由此二式得
∴
在运动方向上的长度和静长分别为和，则相对收缩量为：

4.15 氢原子的同位素氘(H)和氚(H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(He)原子核和一个中子(n)，并释放出大量能量，其反应方程为H + H→He + n已知氘核的静止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10-27kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量．
解: 反应前总质量为
反应后总质量为
质量亏损 

由质能关系得

习题五
5.3 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：
(1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．

题4-1图
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用

描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点；而小球在运动中的回复力为，如题4-1图(b)所示．题 中所述，＜＜，故→0，所以回复力为.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有

令，则有

5.7 质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?
(3)与两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为，则知：

又

(2)

当时，有，
即
∴
(3)
5.8 一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表示．如果时质点的状态分别是：
(1)；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)过处向负向运动；
(4)过处向正向运动．
试求出相应的初位相，并写出振动方程．
解：因为
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

5.9 一质量为的物体作谐振动，振幅为，周期为，当时位移为．求：
(1)时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；
(2)由起始位置运动到处所需的最短时间；
(3)在处物体的总能量．
解：由题已知
∴
又，时，
故振动方程为

(1)将代入得

方向指向坐标原点，即沿轴负向．
(2)由题知，时，，
时
∴
(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

5.10 有一轻弹簧，下面悬挂质量为的物体时，伸长为．用这个弹簧和一个质量为的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开后 ，给予向上的初速度，求振动周期和振动表达式．
解：由题知
而时， ( 设向上为正)
又

∴
5.11 图为两个谐振动的曲线，试分别写出其谐振动方程．

题5.11图
解：由题5.11图(a)，∵时，
即