七上册第二章有理数.doc

上课日期

时间

学生姓名
王文立
上课类型
（1对1）
教师
汪慧影
教室(class5)
课题：有理数及其运算
教学目标：1、掌握正数、负数的概念。
2、会计算一个数的相反数、绝对值以及倒数。
3、掌握有理数的运算法则。
4、会运用有理数解决实际问题。
教学重点：1、正数、负数的判别方法。
2、有理数的两种分类方法。
3、绝对值、相反数的计算。
4、数轴的三要素。
5、有理数的加减、乘除运算法则。
6、科学计数法
教学难点：1、正数、负数的判别。
2、绝对值的计算。
3、有理数的运算法则。
教学过程：
一、数的扩充：
数1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数，，8，+5.6，…叫做正分数；―，―，―3.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
二、有理数的分类
不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类：
①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：

②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：

注：①“0”也是自然数。②“0”的特殊性。
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（set of number）。所有正数组成的集合，叫做正数集合；所有负数组成的集合叫做负数集合；所有整数组成的集合叫整数集合；所有分数组成的集合叫分数集合；所有有理数组成的集合叫有理数集合；所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。

三、数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。
例1：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？

例2：把下面各小题的数分别表示在三条数轴上：
（1）2，-1，0，，+3.5
(2)―5，0，+5，15，20；
(3)―1500，―500，0，500，1000。
分析：要在数轴上表示数，首先要正确画出数轴，标明原点、正方向（一般从左到右为正方向）和单位长度这三要素，然后再表示数，
注意：（1）数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数与形之间的内在联系；所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数；
(2)画数轴时，原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取，注意不要漏画正方向、不要漏画原点，单位长度一定要统一，数轴上数的排列顺序（尤其是负数）要正确。
(3)比较有理数大小法则是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。根据法则先在同一个数轴上表示出同一组数的位置，然后用“＜”号连接，这种方法比较直观，但画图表示数较麻烦。另一种方法是利用数轴上数的位置得出比较大小规律，即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，则比较更方便些。
四、相反数
象这样只有符号不同的两个数称互为相反数 (opposite number)。
理解：
代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。
几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。0的相反数是0。
说明：“互为相反数”的含义是相反数，是成对出现的，因而不能说“―6是相反数”。“0的相反数是0”是相反数定义的一部分。这是因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0，这是相反数等于它本身的唯一的数。
例3：判断下列说法是否正确：
①―5是5的相反数； ( ) ③5与―5互为相反数； ( ) ④―5是相反数； ( ) ⑤正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
例4：（1）分别写出5、―7、―3、+11.2的相反数；
（2）指出―2.4各是什么数的相反数。
注意：（1）只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；
（2）相反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数，单独一个数不能被称为相反数，相反数是成对出现的；
（3）正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认；而负号“―”的功能是对一个数的符号予以改变。
五、绝对值
（1）我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值( absolute value )。记作|a|。
例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。
概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？由学生分类讨论，归纳出数a的绝对值的一般规律：
1. 一个正数的绝对值是它本身；2. 0的绝对值是0；3. 一个负数的绝对值是它的相反数。
即：①若a＞0，则|a|=a； ②若a＜0，则|a|=–a；
③若a=0，则|a|=0； 或写成：。
（2）绝对值的非负性：
由绝对值的定义可知：不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|≥0。
例5：求下列各数的绝对值：，，―4.75，10.5
例6： 化简：(1)； (2)。解：(1) ； (2) 。
分析：求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数，然后由绝对值的性质得到。在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。
注意：（1）对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何方面看，一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性；从代数方面看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
（2）求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。
例7：比较下列各对数的大小：
①－0.3与； ②与0； ③ 与
解：(1)这是两个负数比较大小，
∵|―0.3|=0.3，，且 0.3 < ， ∴。
说明：①要求学生严格按此格式书写，训练学生逻辑推理能力；
②注意符号“∵”、“∴”的写法、读法和用法；
③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行；
④异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同。

六、有理数的运算
（1）有理数的加法法则：
1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3. 互为相反数的两个数相加得0；
4. 一个数同0相加，仍得这个数.
注意：
一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。

例8：计算：
①(+20)+(+12)； ②； ③(―3.4)+4.3。
④（-7）+（+7）⑤(+7)+0
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即 a + b = b + a
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
即 ( a + b )+ c = a + ( b + c )
这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化。
例9：计算：
(1) (+26)+(―18)+5+(―16)； (2) 。

三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算。常见技巧有：
(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；
(2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；
(3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；
(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。
（2）有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。
如果用字母 a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a – b = a +（―b）。

例10：计算：
(1)(―32)―(+5)； (2)7.3―(―6.8)；
注意：（1）由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决．
（2）不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变的。
（3）因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便。但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。
（3） 有理数乘法法则：
3×(―2)=? (―3)×(―2)=?
一般地，我们有：把一个因数 换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数.
④综合上面各种情况，引导学生自己归纳出有理数乘法的法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，都得0
例11：计算：①(－5)×(－6) ②
有理数乘法运算律：
③总结：让学生总结出乘法的交换律、结合律。
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a b = b a
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(ab)c=a(bc) ④根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(b＋c)＝ab＋ac.
例12：①计算：(―10) ××0.1×6。
例13：计算：①4×(―8)+(―5)×(―8)+16； ②。
解：①原式=24
（4）有理数除法
倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数(reciprocal)。
例14： (1) ； (2) ； (3) 。
解：①原式=；
②原式=；
③原式=
这样，对有理数除法，一般有
有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.
注意：0不能作除数.
探讨总结出有理数除法类似有理数乘法的法则：
因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(1) (―)÷(―)； (2) ； (3)。
（5）有理数的乘方
一般地，我们有：n个相同的因数a 相乘，即，记作。
例如，2×2×2＝23；(－2)(－2)(－2)(－2)＝(－2)4。
这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方(involution)，
乘方的结果叫做幂(power)。在an中，a叫作底数，n叫做指数，
an 读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可
读作a的n次幂。
例如，23中，底数是2，指数是3，23读作2的3次方，或2的3次幂。
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写。
当a＞0时，an＞0(n是正整数)； 当a<0时，；
当a=0时，an=0(n是正整数) (以上为有理数乘方运算的符号法则)
a2n=(―a)2n(n是正整数)；=―(―a)2n-1(n是正整数)；a2n≥0(a是有理数，n是正整数)。
七、科学记数法
(1)任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式。
如：100=1×100=1×102；600=6×1000=6×103；7500=7；5×1000=7.5×103。
(2)科学记数法定义：
一般地，把一个大于10的数记成a×的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（即1≤a<10），n是正整数，这种记数法叫做科学记数法。
例15：用科学记数法记出下列各数：
(1)696 000； (2)1 000 000； (3)58 000； (4)―7 800 000。
八、有理数的混合运算(1)
定义：含有有理数的加减乘除乘方多种运算，称为有理数的混合运算。

2．有理数混合运算的运算顺序规定如下：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②同级运算，按照从左至右的顺序进行；
③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。
注意：①加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。
例16：计算：解：原式。
这里要注意三点：
①小括号先算；
②进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法；
③同级运算，按从左往右的顺序进行，这一点十分重要。

例17：计算：
分析：揭示思路：本例按常规运算顺序，应先算小括号里的减法，运算较繁，观察算式中的数字特征，可发现首尾两数互为倒数，根据这一迹像，抓住算式的结构特点及数与数之间的关系，利用运算定律，适当改变运算顺序，可得如下新颖解法：
解原式===8―3=5
九、近似数和有效数字
概括：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

②有效数字：
这时，从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits)。
象上面我们取1.667为的近似数，它精确到千分位(即精确到0.001)，共有4个有效数字1、6、6、7。
例18：下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?
(1)132.4； (2)0.0572； (3)2.40万
解：(3)2.40万精确到百位，共有3个有效数字2、4、0。
注意：由于2.40万的单位是万，所以不能说它精确到百分位.。
例2：用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数。
(1)0.34082(精确到千分位)； (2)64.8 (精确到个位)； (3)1.504 (精确到0.01)；
(4)0.0692 (保留2个有效数字)； (5)30542 (保留3个有效数字)。
注意：(1)例2的(3)中，由四舍五入得来的1.50与1.5的精确度不同，不能随便把后面的0去掉；
(2)例2的(5)中，如果把结果写成30500，就看不出哪些是保留的有效数字，所以我们用科学记数法，把结果写成3.05×104。
(3)有一些量，我们或者很难测出它的准确值，或者没有必要算得它的准确值，这时通过粗略的估算就能得到所要的近似数，有时近似数也并不总是按“四台五入”法得到的。
十、用计算器进行数的简单运算
例1：①用计算器求345＋21.3。
用计算器进行四则运算，只要按算式的书写顺序按键，输入算式，再按等号键，显示器上就显示出计算结果。

课后练习:单科集训P34填空、计算

教学反思：

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