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几何概型分类题全.doc
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1、(完整版)几何概型分类题全 浅谈几何概型的分类及应用 安阳县第二高级中学分校 张兴洲摘 要本文先介绍了几何概型的定义,列举出几何概型的分类并对每种分类作详细阐述,通过实际问题,详细表明其各种分类的具体应用及优点关键词:几何概型;几何度量;测度Abstract this article introduced first the geometry generally definition, enumerates the geometry generally classification and makes the detailed elaboration to each kind of class
2、ification, through the actual problem, indicates its each kind of classified in detail the concrete application and the merit. Key word: Geometry generally; Geometry measure; Measure。 目 录正文-11几何概型的定义-31.1几何概型的定义-31.2几何概型的两个特点-31.3几何概型的三个基本性质-42几何概型的分类和计算-32.1区间模型仅涉及一个变量-42。1.1测度为长度的几何模型-32。1。2测度为角度的
3、几何模型-32。2平面模型涉及两个变量-32.3空间模型涉及三个变量-53几何概型的应用-33。1几何概型在生活中的应用-33。2几何概型在工业中的应用-33.3几何概型在教学、解题中的应用-3参考文献-34致 谢-361几何概型的定义几何概型是概率与数理统计中最基本的问题之一,因而有必要进行深入探讨和归纳1.1几何概型的定义设是某个可度量的区域(可以是一维、二维、三维)。若一个随机试验可归纳为向中随机地投入一点M,点M落在中任一点是等可能的,即点M落在的某一子区域A内的概率与A的几何量成正比,而与A的行政和位置无关,则称这样的概率模型维几何概率概型,简称几何概型对于几何概型试验,若记“点M落
4、在A内为事件A,则事件A的概率公式为P(A)=m(A)/m(),其中m表示区域的几何度量(可以是长度、面积、体积等)1.2几何概型的两个特点(1)在一次随即试验中,不同的试验结果(基本事件)有无限多个;(2)每一个基本事件发生的可能性相等1.3几何概型的三个基本性质(1)对于任何事件A,P(A)0;(2)P()=1;(3)若两两互不相容,则P第一个性质称为概率的非负性,第二个性质称为概率的规范性,第三个性质称为概率的(由限)可加性2几何概型的分类和计算由几何概型计算公式P(A)=(分母不为0)可知,几何概型的计算与测度即几何度量有直接的关系,而几何度量又可分为长度度量,面积度量,体积度量,角度
5、度量等不同情况,所以根据几何度量的不同可把几何概型分为测度为长度的几何概型,测度为面积的几何概型,测度为体积的几何概型和测度为角度的几何概型而测度为长度的几何概型和测度为角度的几何概型都只涉及一个变量,称为区间模型;测度为面积的几何概型因涉及两个变量又称为平面模型;测度为体积的几何概型又称为空间模型2.1区间模型仅涉及一个变量2。1.1测度为长度的几何模型例 1 如图 1,AOB=,OA = 2,OB = 5,在线段 OB上 任取一点 C,试求 :AOC为钝角三角形的概率 解析 先看使AOC为直角三角形的情况:(1)若OCA=,则 OC=1;(2)若OCA=,则OC=4如图,分别是适合以上两种
6、情况的点C,它们均在线段OB上,由题意知,当点C在线段内时,AOC为钝角三角形 故D的测度=OB =5,d的测度 =l+l=2从而,AOC为钝角三角形的概率 P= 点评 对测度为线段长度的问题,在画图分析时要完整地、准确地把握构成所求事件的样本空间所对应的线段,防止遗漏或以偏盖全例 2 设m在o,5上随机地取值,求方程有有实根的概率解:一元二次方程有实数根=(m+1)(m2)o,则m一1或m2,故所求概率P=2。1.2测度为角度的几何模型例 3 在ABC中,B = C =,高 AE =,在 BAC内作射线 AM 交BC于M ,求 BM l的概率 解析 如图2,射线AM在BAC内是等可能分布的,
7、当AM与高AE重合时,BM =l,故满足 BM l的射线 AM在 BAE内于是D的测度 =BAC=,d的测度 =BAE =,从而P(BM1)=点评 若将本题 的“在 BAC内作射线 AM交BC于M”改为“在线段BC上取点M”,则测度由“角度”变 为线段 的“长度,所以对于背景相似的问题,要仔细研读,认真辨析,注意区别例 4 已知等腰三角形ABC,C,在直角边BC上任取一点M,求的概率分析 如图,在CB上取点,使CA=,则区域D为线段CB的长,为线段C的长 解: 在CB上取点使CA=,设BCa,则C,故PC(CA=)=例 5 如图 ,以等腰直角A三角形的直角顶点为圆心作圆,使这个圆与斜边相关,则
8、截得的弦长不小于直角边的概率是多少? 解 设等腰直角三角形的直角边长度为1,“以其直角顶点为圆心作圆,这个圆 与斜边相关,截得的弦长不小于直角边”为事件B要使这个圆与斜边相关,则此圆半径最短为,最长为1;要保证事件B发生,则此圆半径最短为图4中的C N =,最长为1,d的测度=,D 的测度=,P(B)= 2.2平面模型-涉及两个变量例6在区间(0,1)上随机取两个数求关于的一元二次方程有实根的概率分析:设事件A表示方程有实根,因为是从(0,1)中任意取的两个数,所以点(,)与正方形D内的点一一对应,其中D一(,)01,01,事件A(,)40,(,)D),有利事件A的样本点区域为图1中阴影部分A
9、,A(,)40,01,01,有P(A)=例 7从(0,2)中,随地取两个数;两数之和小0。8的概率分析:设两数分别为x,y,则样本空间D(x,y) 0x2,0y2,A表示两数之和小于0.8,则A(x,y) x+y0。8, (x,y)D(图2),P(A)=0。08。例 8 在一张打上方格的纸上投一枚直径为2的硬币,方格边长要多少才能使硬币与线不相交概率小于0。04。分析 如图7,取一个方格,设边长为x,(x2),当硬币与线不相交是,圆心到线段不超过1,即圆心只能在图中阴影部分内才与边界不相交,设有利事件A,则P(A)=0。04.0x2时,硬币必与线相交只需x2时,上式成立,即当边长x2。5时,才
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