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天津市2013届高三数学总复习之综合专题:圆锥曲线(理)(教师新版).doc
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1、圆锥曲线(理)考查内容:本小题主要考查圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质,直线的方 程,平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数 形结合的思想,考查运算和推理能力。1、长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动,点在线段上,且为常数且。(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹类型;(2)当时,已知直线与原点的距离为,且直线与轨迹有公共点,求直线的斜率的取值范围。解:(1)设、,则,由此及,得,即;当时,方程的轨迹是焦点为,长轴长为的椭圆;当时,方程的轨迹是焦点为,长轴长为的椭圆;当时,方程的轨迹是焦点为以点为圆心,为半径的圆。(2)设直线的方程:,据题意有,即。由,得,因为直线与椭圆有
2、公共点,所以,又把代入上式得:。2、已知椭圆经过点,两个焦点为。(1)求椭圆的方程; (2)是椭圆上的两个动点,如果直线的斜率与的斜率互为相反数,证明直线的斜率为定值,并求出这个定值。解:(1)由题意,可设椭圆方程为,在椭圆上,解得,(舍)椭圆的方程为。(2)设的方程为:,代入得:,设,点在椭圆上,又直线的斜率与的斜率互为相反数,在上式以代,可得直线的斜率,即直线的斜率为定值。3、设、分别是椭圆的左、右焦点。(1)若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。解:(1)依题易知,所以,设,则因为,故当,
3、即点为椭圆短轴端点时,有最小值2当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值1。(2)显然直线不满足题设条件,可设直线,联立,消去,整理得:由得:或;又,即,;故有或。4、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆的短轴的端点和焦点所组成的四边形是正方形,且两准线间的距离为4。(1)求该椭圆的方程;(2)若直线过点,且与椭圆交于不同的两点,当面积取得最大值时,求该直线的方程,并求出面积的最大值。5、已知椭圆方程为,斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于,两点,线段的垂直平分线与轴相交于点。(1)求实数的取值范围;(2)求面积的最大值。解:(1)设直线的方程为,由可得。设,则,可得,设线段中点为,则点的
4、坐标为,由题意有,可得。可得,又,所以。 (2)设椭圆上焦点为,则所以的面积为,;设,则,可知在区间单调递增,在区间单调递减。所以,当时,有最大值。所以,当时,的面积有最大值。6、已知椭圆的中心在原点,一个焦点是,且两准线间的距离为。(1)求椭圆的方程;(2)若存在过点的直线,使点关于直线的对称点在椭圆上,求的取值范围。解:(1)设椭圆的方程为由条件知且所以故椭圆的方程是。(2)依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是设点关于直线的对称点为则解得,因为点在椭圆上,所以即设则因为,所以,于是,当且仅当上述方程存在正实根,即直线存在,解得所以,即的取值范围是。7、设椭圆,过点,且左焦
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