谈浅数学模型的建立--毕业设计.doc

江西师范大学科学技术学院2013届学士学位毕业论文江西师范大学科学技术学院学士学位论文浅谈数学模型的建立 Introduction to the establishment of the mathematical model 姓 名： 邹 春 图 学 号： 0907019077 学 院： 科学技术学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 朱凯（讲师） 完成时间： 2012年11月23日 I浅谈数学模型的建立邹春图【摘要】数学模型是数学创造与数学教学中经常使用的一种重要的数学方法。从方法论的角度考虑，让学生了解数学模型方法的涵义和作用、构建一般的模式等，对促进其数学学习、灵活地应用数学知识和思想方法解决现实问题、提高数学能力都有极其重要的意义。由于数学教材中与直接应用的相关内容少，数学应用的教学不够系统，缺乏数学应用教学研究的氛围，学生应用数学的基础较差，阅读理解能力不够等等，因此培养学生应用数学的意识和应用数学解决问题的能力的关键是培养学生的数学模型思想，运用数学模型法来解决学科中的数学问题，可以把抽象问题具体化、解题过程规律化，能提高答题的准确性，是解决学科中的数学问题的有效方法。【关键词】数学模型 数学模型方法 数学应用 数学建模。 Introduction to the establishment of the mathematical modelZou chuntuAbstract: Mathematical model of mathematics and mathematics teaching is often used as an important mathematical method. From a methodological point of view, lets the student understand the meaning and role of mathematical model method, constructs the general model, to promote their mathematics learning, flexible use of mathematical knowledge and methods to solve practical problems, to improve the mathematics ability to have the extremely vital significance. As a result of mathematics textbooks and the direct application of the related content, mathematics application teaching insufficient system, lack of application of mathematics teaching and research atmosphere, the student applied mathematics foundation is poorer, reading comprehension ability and so on, so the cultivation of students sense of Applied Mathematics and applied mathematics problem solving ability is the key to cultivate students thought of mathematical model, by using mathematical model to solve mathematical problems in the discipline, can make the abstract problem solving process specific, regularity, can improve the answer accuracy, is to solve mathematical problems effectively.Key words: Mathematical model Mathematical model method Application of Mathematics Mathematical modeling.目录前言.1第一章 数学模型. .11.1 数学模型的概念. .11.2 数学模型的分类. .11.3 数学模型方法及其作用. .2第二章 数学模型的建立及求解. .32.1 数学模型的建立及建立的要求. .32.1.1 数学模型的建立. .32.1.2 数学模型建立的要求.42.2 数学模型的基本思想、方法和步骤.52.2.1 数学建模的基本思想.52.2.2 构建数学模型的方法.52.2.3 数学建模的一般步骤.62.2.4 数学模型、建模与数学应用的关系.6第三章 数学模型的应用实例分析.7第四章 总结 .22参考文献.24致谢.25前言数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。第一章，了解数学模型的概念、分类及思想方法。数学应用的基础是数学建模，因此培养学生数学模型思想是极其重要的。第二章，让学生了解并掌握数学模型的建立及基本思想、方法和步骤，能够把数学模型应用到生活中的实际问题中。第三章，以2011年数学建模C题为例帮助学生了解数学模型的建立、求解的过程。一、数学模型1.1 数学模型的概念数学模型是用数学语言描述的一类模型,对研究对象的生命本质和运动规律进行具体的分析、综合，用适当的数学形式(如数学方程式、关系式、曲线图和表格等) 来表达, 并能依据构建的模型做出判断和预测。数学模型法是通过数学模型来揭示原形的形态、构建数学模型在解决生物某些学科中数学问题的作用主要体现在:一个复杂的问题借助数学模型能转变成一个数学问题，通过数学模型的逻辑推理、求解和运算，就能获得客观事物的有关结论，达到把客观事物转化成数学模型进行研究的目的。1.2 数学模型的分类数学模型是对现实原型数量关系的一种摹写，而现实原型是非常复杂的，千差万别，在抽象数学模型时，根据问题的属性进行具体分析，可以得到不同类型的数学模型。客观事物一般分为三类现象:一类是必然现象，另一类是随机现象，还有一类是模糊现象。对这三类现象进行量的研究，相应地形成了三类数学模型，即确定性数学模型、随机性数学模型和模糊性数学模型。确定性数学模型，就是现实原型的变化规律服从确定的因果关系，从某时刻的运动状态可以推断出以后各个时刻的运动状态。抽象出来的模型是方程式、逻辑关系式等等。随机性数学模型。自17 世纪中叶概率论问世以后，扩大了数学应用范围，丰富了数学方法的内容。用概率论与数理统计为工具来处理一类不确定现象和大数现象，从中得到统计性的规律。解决这样问题必须用随机变量来描述，即用概率论、数理统计、随机过程等研究不确定现象的数学理论和方法来处理。随机数学模型反映了偶然性与必然性的统一，从偶然性中发现必然性，总结出固有的规律，给出近似的量的描述。模糊性数学模型。人类的思维与行为常常具有模糊性，如日常人们用自然语言对话，在复杂多变的情况下作决策，对各种事物作综合评判或分类等等，都具有不精确的特点，但不影响事物的发生。为了研究人类思维与客观世界固有的模糊性，并使机器朝着人工智能方向发展， 美国加里福尼亚大学查德(zaden)教授，在1965年提出了“模糊集合”(Fuzzy Sets)概念。从此，一门研究事物模糊的新兴学科模糊数学诞生了。1.3 数学模型方法及其作用科学数学化就是把实践中提出的问题，利用数学理论和计算方法， 给出正确的数学描述。运用数学方法解决自然科学、工程技术、经济科学、军事科学和管理科学中的实际问题，多数人认为其工作程序是：实际问题数学化数学模型检验应用。可见数学模型是用数学方法解决实际问题的重要环节，从实际问题中提炼数学模型就要用到数学模型方法。数学模型方法(mathematical model method)简称MM方法。它是将研究的某种事物系统，采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系，抽象出一种数学结构的方法，这种数学结构就叫数学模型。一般地，一个实际问题系统的数学模型是抽象的数学表达式，如代数方程、微分方程、差分方程、积分方程、逻辑关系式，甚至是一个计算机的程序等等。由这种表达式算得某些变量的变化规律，与实际问题系统中相应特征的变化规律相符。一个实际系统的数学模型，就是对其中某些特征的变化规律做出最精炼的概括。目前，数学模型方法已经得到广泛的应用，成为探索客观规律不可缺少的认识手段，并成为理论思维的有效形式，在科学研究中发挥愈来愈重要的作用。其作用可概括为以下三个方面:第一，数学模型方法同其它数学方法一样为科学研究提供了简洁精确的形式化语言。利用该方法从实际事物系统中抽象出数学模型，都是用数学符号表示复杂现象的内在联系，这一套数学符号即为形式化语言。由于采用数学形式化语言，对问题的陈述、推理、计算，就能够大大简化和加速思维进程，揭示出事物的内在联系和运动规律，具有明显的简洁性和精确性。因此，自然科学、技术科学，乃至社会科学的一些定律和原理都尽量表示成简明的数学公式，即数学模型。如果不用形式化语言而用自然语言，不仅无法表达事物的复杂数量关系， 就是最简单的数量关系也难以表达清楚。第二，数学模型方法为科学研究提供抽象思维能力。运用数学模型方法解决实际问题，研究者必须对事物系统进行具体分析，善于“去粗取精”、“化繁为简”,进行一系列抽象，得到一个既能反映问题本质特征，同时又是理想化、简单化的数学模型。提炼模型的操作过程实质上是一个科学抽象过程，由此反映这种方法所具有的抽象能力。实践使人们认识到，数学模型方法表现出一种抽象思维力量，熟练使用模型方法必须具有很强的抽象能力，要求精通数学抽象分析方法，如果失掉这种抽象认识手段，科学研究就会走进死胡同。第三，数学模型方法有着巨大的科学预见作用。利用模型方法得到数学模型，并在数学模型上展开数学推导、演算和分析，将研究对象做出正确的理论概括，由此得到的理论成果，便于做出科学预见，把握超出感性经验以外的客观世界。科学史上不少重大发现都是由数学方法与专业理论相结合而提出的。二、数学模型的建立及求解2.1 数学模型的建立及建立的要求2.1.1 数学模型的建立数学模型与现实原型是一种反映与被反映的关系。现实原型中包含着许多因素，这些因素是相互制约而且呈现着错综复杂的关系，如果从中概括出数学模型，必须首先对现实原型进行简化复杂因素，抛弃次要因素，考虑主要因素的工作与本质的联系，即主要因素的关系暴露出来，然后运用数学抽象分析方法，用形式化的数学语言对本质的联系进行描述1。具体说来，从实际问题中抽象出数学模型必须经过三个环节：第一，对一个实际问题系统首先分析主要关系结构的属性，即是确定性、随机性还是模糊性，从而确定数学模型的类别。第二，确定系统中主要因素的关系结构。在一个系统中要分辨出哪些因素是主要的，哪些因素是次要的，舍弃那些可以忽略不计的因素，并找出主要因素之间的制约关系。第三，进行数学抽象。对系统中的主要因素，区别为常量、变量、已知量和未知量，根据有关的数学理论，利用符号语言将主要关系表示成数学表达式，即为所求的数学模型2。2.1.2 数学模型建立的要求一般地说，构造数学模型并不是一件很容易的事情，尤其是遇到复杂的实际问题，其难度就更大。从现实原型中构造数学模型，必须具备以下的能力：第一，洞察实际问题的能力。在日常学习中，要扎实地掌握自然科学、工程技术和社会科学各分支领域揭示出的法则和规律，具有丰富的跨学科知识。此外，还要多接触实际，深人到一些工作部门，培养发现关键问题的本领。第二，要有高超的抽象分析能力。我们将客观存在的事物及其运动形态称为实体。数学模型就是对实体特征和变化规律的一种定量抽象， 这种抽象反映了人们对实体认识的深化和飞跃，它能更普遍、更集中、更深刻地描述实体的特征。建立数学模型的过程是一个不断抽象的过程，只有熟练地掌握抽象分析方法才能得心应手3。第三，运用数学工具的能力。在学习数学各分支学科时，应该注意多做应用问题的练习，这对提高数学抽象分析能力和运用数学工具能力是不可缺的基本训练。第四，实践验证的能力。从数学模型中求出数学解，要求能对数学解做出正确的解释和评价，由此对实际问题做出准确的判断和预见。数学模型是反映实体的主要特征，不是一切特征，所以模型不等于实体。抽象出的数学模型是否能精确地描述实体的主要特征，就要对模型的数学解进行考察。数学解若与实体误差较大，则需逐步改进数学模型，使其越来越准确地描述实体4。最后，直观地表述运用数学模型方法解决实际问题的思路，一般用框图表示如下: 现实原则数学模型数学抽象逻辑推理返回解释实际问题解求数学解2.2 数学建模的基本思想、方法和步骤2.2 .1 数学建模的基本思想真正意义上的实际问题的数学模型远比想象中的数学模型复杂的多。但是，无论是如何简单的数学模型，还是如何复杂的数学模型，它们在构建数学模型上的基本思路都是一致的。 概括地说，构建数学模型的基本思路是： 1）根据建立数学模型的目的和问题的背景，做出必要的简化和假设； 2）用字母表示待求的未知量； 3）利用物理的或其他的科学规律列出式子； 4）求出数字上的解答； 5）用解答解释原问题； 6）用实际现象验证原答案。显示对象与数学模型之间的关系，可以用简单的循环图表示，见图表述、归纳 数学模型显示对象 验证求解、演绎现实对象的解答数学模型的解答 解释所谓表述就是根据建模的目的和所掌握的信息，将实际问题翻译简缩成一个数学问题，并且用数学的语言确切地表达出来（即建模）。所谓求解就是选择适当的数学方法求得数学模型的解答5。所谓解释就是将数学语言所表达的解答，翻译成关于现实对象的实际问题的解答。所谓验证就是显示对象的有关信息去检验所得到的解答，以便确认这个解答结果的正确性。2.2 .2 构建数学模型的方法建模方法大致可分为机理分析和统计分析两类。机理分析6是指人们根据客观事物的特征，分析其内部机理、弄清其因果关系，再在适当的简化假设下，利用合理的数学工具描述事物特征的数学建模方法。这时所建立的数学模型常常有明确的物理或现实意义。统计分析7是指通过测试得到一串数据，再利用数理统计的知识对这串数据进行模拟处理从而得到数学模型。也称这种方法为系统辨识8。这种建模方法一般适应社会实践形式的情形。2.2 .3 数学建模的一般步骤1）模型准备 对于实际问题，为了解决问题的背景，掌握一定的信息，明确建模的目的，需要进行一些大量的调查和统计工作，尽量弄清显示对象的特征，初步确定运用哪一种类型的模型。2）模型假设 模型假设是根据现实问题的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，对问题做出合理的简化后，做出假设的过程，这个过程即是把实际问题提炼成数学问题的过程，假设不合理，将导致模型失败。因此，它要求操作者要有一定的相关的知识和丰富的判断力、想象力，善于抓住问题的主次，尽量将问题线性化，均匀化9。3）模型构成 就是根据所做出的假设，分析现实对象的因果关系，利用现实对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量之间的关系，建立包含常量、变量等的数学模型。模型构造的原则是，尽量采用较为简单的模型。4）模型求解 就是用数学的方法如解方程、解不等式、绘出图形、优化方法、逻辑运算、数值运算等求出数学模型。一般还要运用数学软件和计算机技术。5）模型分析 就是对模型的解答进行数学上的分析，依据模型的结果做出决策、预报等，有时还需要进行误差分析。例如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析等。6）模型检验 就是把数学上分析的结果与实际的现象、数据进行比较，以检验模型的合理性和实用性。若检验的结果与实际情况不相符合，就应该对模型进行修改或补充，并重新建立数学模型，这一步对于模型是否真的有用非常关键。有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意10。上述建模步骤可以表示为下图：模型假设模型构成模型准备模型求解模型分析模型检验模型应用2.2.4 数学模型、建模与数学应用的关系数学模型是数学的数式、图表或算法等数学结构，数学建模是把要解决的实际问题表示为数学结构，它是数学应用的一个环节。数学应用是用建模方法，把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识和方法对数学模型求解，最后用于实践中检验或解决实际问题，建模是数学模型与数学应用的桥梁。数学应用与现实生活联系密切，是实际问题的一个缩影。在解决实际问题时，可以实地考察，认真分析过程，达到全面理解实际问题的各个过程和各个方面，再把实际问题抽象概括，再从数学角度反映或近似反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述，这就是建立数学模型。三、数学模型的应用实例分析3.1 以2011年数学建模C题为例的数学模型企业退休职工养老金制度改革摘要：养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我们对山东省职工历年平均工资数据和2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况进行数据分析，建立数学模型来研究我国的养老保险基金问题。问题一：通过数据分析，利用非线性函数进行数据拟合，统计表明得出拟合公式为（为年份），并进一步利用阻滞增长模型再次对数据进行非线性拟合阻滞增长模型函数公式为：（为达到饱和的平均工资）。结果如下图： 指数函数图像 阻滞增长模型函数图像 问题二：根据问题一中所得函数，估计20112035的社会平均工资，利用附件2的数据分析计算年龄段缴费指数，进而得出总缴费指数和平均缴费指数，根据上述数据，结合附录2中提供的养老金计算方法，计算出该企业职工不同类别人员的养老金替代率，结果见下表：缴费年龄段30-5530-6030-6540-5540-6040-65替代率0.270.350.420.220.290.36问题三：利用工资增长的指数模型，提出指数化工资理论，实现不同年度之间货币的换算。在此基础上提出平衡指数，通过平衡指数来反映社会养老保险基金收支平衡问题。并计算该企业职工不同类别人员的平衡指数，结果如下： 缴费年龄段30-5530-6030-65平衡指数0.648250.5753080.355385问题四：针对既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡。考虑到通过更多年龄段的职工工资替代率和养老保险基金收支平衡的结果分析得出：我们可以采取以下措施：（1）计发月数的合理化； (2)调整征缴率；（3）延长职工退休年龄；（4）增加覆盖率。关键词：养老金，缴费指数，总缴费指数，平均缴费指数，平衡指数，养老金保险基金，替代率，指数化工资，社会统筹账户，个人账户。一、 问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金（28%）。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。二、模型的假设1、假设男女职工按照统一年龄退休不存在提前退休情况2、假设职工60岁以后的缴费指数趋于平稳，为一个定值3、假设每个年龄段的工资为职工月收入范围的平均值4、假设每个人的替代率是不变的5、假设个人账户自设立之日起就委实账并在管理费用为零条件下实现保持增值6、假设考虑期间年利率为3%保持不变7、假设只考虑养老金的主观因素，不考虑客观因素8、假设中国的经济短期内不会发生剧烈的动荡。三、符号说明及名词解释符号符号说明各年龄段的平均工资企业的平均工资缴费指数替代率各年龄段的养老金退休前的工资总缴费指数第j年的缴费指数平均缴费指数第i年指数化工资个人工资年平均工资平均指数化工资基金缴费收总入货币折算率基金发放总支出平衡指数H指数化货币总缴费指数等于每年的缴费指数之和：（为第年的缴费指数）；平均缴费指数是指参加养老保险社会统筹人员历年缴费指数的平均值：(n为缴费年数)；指数化工资是不同年度之间的货币转换（这里以退休前一年的工资为参考值），指数化货币=个人工资退休前的工资/年平均工资： 。平均指数化工资是指缴费期间指数化工资的平均值，即（指缴费年限）。平衡指数是指各年龄段职工退休后领取的养老保险总基金与退休前缴纳的总资金的比值，用来反映社会养老保险基金收支平衡问题。覆盖率：社会养老保险覆盖的面积，即参与养老保险职工的人数与城镇就业人员总数的比值。缴费率：养老金征缴税与参与养老保险职工的工资总额的比值。四、模型的建立与说明（一）问题一1.1 问题的分析 根据附表一给出的数据，先对数据进行处理制成图表一如下：1.2 模型的建立与求解模型一通过上面图表的分析得出：曲线的增长接近于指数函数和二次函数的图形，采用matlab来拟合指数函数y=和二次函y=（a）指数增长模型 记时刻t的年平均工资为，将视为连续、可微函数。记初始时刻（）的人口为，假设平均工资增长率为常数。考虑到+时间内平均工资的增量，显然有 （1）令，得到满足微分方程 （2）由这个方程很容易解出 （3）(b)利用回归方程求出指数函数的回归系数：非线性回 归 确定回归系数的命令： beta，r，J=nlinfit（x，y，model, beta0）残差Jacobian矩阵是事先用m-文件定义的非线性函数估计出的回归系数输入数据x、y分别为 矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量。beta=474.283,0.1327;故回归系数：a1=474.283,b1=0.1327.(c)利用p=polyfit(x1-1978,x2,2) 计算出二次函数的系数：a2=48.6,b2=-731.45,c2=2808.0298(d)把指数函数和二次函数绘制成图表二如下： 指数函数(1)： 二次函数(2)：通过比较发现指数函数图像更接近于图表一的图像，并得出指数函数的表达式为：y=474.283*exp(0.1327*(x-1978)。 由于职工每年的平均工资增长的图像更接近于指数函数图像，故利用指数函数的表达式y=474.283*exp(0.1327*(x-1978)来预测出从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。由于职工每年的平均工资按指数分布递增，模型预测的平均工资可以得到较好的结果。但是长期来看，指数模型不能描述、也不能预测较长时间的平均工资演变过程。考虑到人口变化、经济因素、自然资源等因素对平均工资的阻滞作用，并随着平均工资的增加，阻滞作用越来越大。为此建立阻滞增长模型分析平均工资增长问题：模型二阻滞增长模型阻滞作用体现在对年平均工资增长率的影响上，使得随着平均工资的增长而下降。若将表示为的函数，则它应是减函数。于是方程（2）写作 （4）对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即： （5）引入为平均工资的饱和值，当=是职工的年平均工资不再增加，即增长率，带入（5）式得，于是（5）式为 （6）将（6）式代入方程（4）得 （7）由上述计算公式得出阻滞增长模型方程，并以为横坐标、为纵坐标绘制成图表及相应的表格： 年份平均工资年份平均工资年份平均工资年份平均工资年份平均工资201137831.8201673453.42021142615.32026276898.42031537619.4201243200.4201783876.92022162853.52027316192.42032613911.5201349330.9201895779.72023185963.62028361062.42033701030.1201456331.320191093722024212353.22029412299.82034800511.4201564325.220201248922025242487.72030470808.22035914109.9结论：随着时间的增长职工的年平均工资呈指数化无止尽的增长，但由于阻滞的作用，随着t的增长，职工的年平均工资会达到一个饱和值，进而趋于一个稳定的值，不再增加。(二) 问题二2.1 问题分析根据附件二取各年龄段月工资收入范围的平均值作为每年龄段的平均工资见下表，由企业的平均工及各年龄段的平均工资可以得出缴费指数： 。缴费工资的计算：由企业和个人缴纳的费用组成。按照规定，企业缴费不超过工资总额的20%，个人缴费为工资的8%，养老保险总缴费率不超过28%。月缴纳养老保险费=企业缴纳的社会统筹基金+个人缴纳的个人账户基金=月工资总额（企业缴费率+个人缴费率）。再利用缴费指数得出该企业职工不同类别人员的养老金替代率，替代率是指职工刚退休的养老金占退休前工资的比例：（为不同年龄段的养老金，W为退休前工资）。 取平均值的数据如表所示： 年龄段月收入范围（元）1000- 14991500- 19992000- 24992500- 29993000- 34993500- 39994000- 49995000- 8000平均工资1250175022502750325037504500650020-24岁职工数741652616100025-29岁职工数36829442630030-34岁职工数03283952462035-39岁职工数011748336164240-44岁职工数004386552113345-49岁职工数033232644118450-54岁职工数07232944218355-59岁职工数061727377702.2 模型的建立与求解引入总缴费指数、平均缴费指数和指数化后工资，其中：总缴费指数等于每年的缴费指数之和：（为第年的缴费指数）；平均缴费指数是指参加养老保险社会统筹人员历年缴费指数的平均值：(n为缴费年数)；指数化工资是不同年度之间的货币转换（以退休前一年的工资为参考值），指数化货币=个人工资退休前的工资/年平均工资：。平均指数化工资是缴费期间指数化工资的平均值，即。个人账户养老金采取完全累加模式（10），假设职工的初始工作的年龄为A，退休年龄为B岁，平均工作年限为N，并引入平均余命V，则有N=B-A，设个人账户缴费率为T以及初始缴费年W，个人账户投资收益率为R，职工的平均工资增长率为G，R与G保持不变，个人账户养老基金经投资运营并实现保值增值。由指数函数可得平均工资： 对其求导并运用麦克劳林展开式求得：即。 则职工在退休时的养老金积累的年末值为：假设个人替代率m在一定时期保持不变，则领取的养老金即为P；通过对比，若资金收益率与工资增长率相等即（R=G）时，则有个人缴费率表达式： 根据问题一预测出的平均工资的指数函数我们得出2000-2034年的平均工资如表五：年份个人工资年份个人工资年份个人工资年份个人工资年份个人工资20009005.694200724752.33201468900.4120211797692028433274.9200110283.67200828264.87201584970.62022205279.52029494759.8200211743200932275.86201697028.562023234410.22030564969.8200313409.42201040522.692017110797.62024267674.72031645143.2200415312.31201146273.162018126520.62025290985.22032736693.8200518982.54201252839.662019144474.82026332278.12033841236.1200621676.32013603382020157428.72027379430.82034960613.7（1）由缴费指数：计算得出每年龄段的缴费指数如图六：岁数段缴费指数