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函数专题练习
（一） 选择题(12个)
1.函数的反函数是(　　　)
A． B．
C． D．

2.已知是上的减函数，那么的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有
(A) (B) (C) (D)
4.已知是周期为2的奇函数，当时，设则
(A)　　　(B)　　　(C)　　　(D)
5.函数的定义域是
A. B. C. D.
6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.

7、函数的反函数的图像与轴交于点
(如右图所示)，则方程在上的根是
A.4 B.3 C. 2 D.1
8、设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是
(A)是奇函数 (B)是奇函数
(C) 是偶函数 (D) 是偶函数
9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A． B．
C． D．
10、设
(A)0 　(B)1 (C)2 (D)3
11、对a，bR，记max{a，b}＝，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是
(A)0 (B) (C) (D)3
12、关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
（二） 填空题(4个)
1.函数对于任意实数满足条件，若则_______________。
2设则__________
3.已知函数，若为奇函数，则________。
4. 设，函数有最小值，则不等式的解集为 。
（三） 解答题(6个)
1. 设函数.
(1)在区间上画出函数的图像；
(2)设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
(3)当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.

2、设f(x)＝3ax，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；
(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根.
3. 已知定义域为的函数是奇函数。
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
4.设函数f(x)＝其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.

5. 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
(I)用表示，并求的最大值；
(II)求证：()．

6. 已知函数，是方程f(x)＝0的两个根，是f(x)的导数；设，(n＝1，2，……)
(1)求的值；
(2)证明：对任意的正整数n，都有＞a；
(3)记(n＝1，2，……)，求数列{bn}的前n项和Sn。

（四） 创新试题
1. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则
(A) (B) (C) (D)

2. 设函数f(x)＝3sinx＋2cosx＋1。若实数a、b、c使得af(x)＋bf(x−c)＝1对任意实数x恒成立，则的值等于( )
A. B. C. −1 D. 1

解答：
一、选择题
1解：由得：，所以为所求，故选D。
２解：依题意，有0<a<1且3a－1<0，解得0<a<，又当x<1时，(3a－1)x＋4a>7a－1，当x>1时，logax<0，所以7a－1³0解得x³故选C
３解：|>1<1\ |<|x1－x2|故选A
４解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，＜0，∴，选D.
５解：由，故选B.
６解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数，是减函数;故选A.
７解：的根是2，故选C
８解：A中则，
即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，
C中，，即函数为奇函数，D中，，即函数为偶函数，故选择答案D。
９解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即＝，∴ ，选D.
１０解：f(f(2))＝f(1)＝2，选C
１１解：当x<－1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为(－x－1)－(2－x)＝－3<0，所以2－x>－x－1；当－1£x<时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为(x＋1)－(2－x)＝2x－1<0，x＋1<2－x；当£x<2时，x＋1³2－x；当x³2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1>x－2；
故据此求得最小值为。选C
１２解：关于x的方程可化为…(1)
或(－1<x<1)…………(2)
① 当k＝－2时，方程(1)的解为±，方程(2)无解，原方程恰有2个不同的实根
② 当k＝时，方程(1)有两个不同的实根±，方程(2)有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根
③ 当k＝0时，方程(1)的解为－1，＋1，±，方程(2)的解为x＝0，原方程恰有5个不同的实根
④ 当k＝时，方程(1)的解为±，±，方程(2)的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根
选A
二、填空题。
１解：由得，所以，则。
２解：.
３解：函数若为奇函数，则，即，a＝.
４解：由，函数有最小值可知a>1，所以不等式可化为x－1>1，即x>2.
三、解答题
１解：(1)

(2)方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此
.
由于.
(3)[解法一] 当时，.

，
. 又，
① 当，即时，取，
.
，
则.
② 当，即时，取， ＝.
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时，.
由 得，
令 ，解得 或，
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
2(I)证明：因为，所以.
由条件，消去，得；
由条件，消去，得，.
故.
(II)抛物线的顶点坐标为，
在的两边乘以，得.
又因为而
所以方程在区间与内分别有一实根。
故方程在内有两个实根.
3解：(Ⅰ)因为是奇函数，所以＝0，即
又由f(1)＝ －f(－1)知
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，
从而判别式
解法二：由(Ⅰ)知．又由题设条件得：　　　　　　　　　，
　　即　：，
整理得　
上式对一切均成立，从而判别式
4解：(Ⅰ)的定义域为，恒成立，，
，即当时的定义域为．
(Ⅱ)，令，得．
由，得或，又，
时，由得；
当时，；当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为．
5解：(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或(舍去)．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
(Ⅱ)设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
6解析：(1)∵，是方程f(x)＝0的两个根，
∴；
(2)，
＝，∵，∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号)，∴同，样，……，(n＝1，2，……)，
(3)，而，即，
，同理，，又

四、 创新试题
１解：依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，\x1<x3，同理，x2＝30＋x1－20＝x1＋10\x1<x2，同理，x3＝30＋x2－35＝x2－5\x3<x2故选C
2解：令c＝π，则对任意的x∈R，都有f(x)＋f(x−c)＝2，于是取，c＝π，则对任意的x∈R，af(x)＋bf(x−c)＝1，由此得。选Ｃ。