中学数学中的化归及其教学数学毕业论文.doc

新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）

2014届本科毕业论文

中学数学中的化归及其教学

目 录
引言 2
1．化归思想的意义与含义 2
2. 化归思想的作用 3
2.1归属学习模式 3
2.2 归总学习模式 4
2.3联合学习模式 4
3．化归在中学教学中的应用 5
3.1 化归在代数中的体现 5
3.2 化归在几何中的应用 6
3.2.1数形结合化归 6
3.2.2　辅助线面化归 6
4.中学数学化归思想的教学 7
4.1 挖掘教材中实现化归方法的因素 7
4.2 提倡过程教学, 优化学生的认知结构 8
4.3 树立现代思维意识, 注重其他数学思想 9
结束语 10
参考文献 10
致谢 11

引言
化归思想是一种重要的数学思想。化归思想方法作为对数学知识的提炼概括和本质认识，是数学问题解决、数学学习和教学的基本思想。
将任一问题化归为代数问题，将任一代数问题化归为方程求解。尽管他这种理想化的通用方法没有成功，但他的这种化归思想却十分宝贵，促使他完成了解析几何的奠基工作。目前，在具体的中学数学解题中，化归思想的应用已十分普遍。但针对化归思想在解题中的应用的归纳总结和分析还不够，对其思想方法的核心，策略以及各种方法的比较分析还稍显欠缺，因而对于化归思想在中学数学解题中应用的研究就显得很重要。本文将从多个角度全面进行梳理总结概括并进行新的探讨，让教师更容易把握教授化归思想，使学生对化归思想有着更清晰的认识，这对于中学新课程改革及教育教学都有着非常重要的作用。
1．化归思想的意义与含义
所谓“化归“可理解为转化和归结的意思，数学方法论中所论及的“化归方法“，是指把待解或未解决的问题通过某种转化过程。归结到一类已经解决或比较容易解决的问题去，最终求得原问题之解答的一种手段和方法。
在解决一个问题时，人们不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题化为某一简单熟悉的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。事实上，数学证明一般要归结为某些中间定理上去，只是指出待证问题可以归入哪个问题的证明或由哪些已证定理或成果来证明，实质上也是一种化归过程。
所谓归即转化和归结的意思,化归思想方法简称化归方法,就是在处理问题时,把待解决的问题或难解决的问题,通过某种转化,归结为一类已经解决或比较容易解决的问题,最终求得原问题的解答的一种数学思维方式[1]。本文在前人研究的基础上结合解题,粗浅的讨论化归思想方法的含义、原则、应用及存在的局限性，并围绕着化归的原则展开讨论从而提高教学策略，培养学生的化归意识，学生有了化归的思想，就能从更深层次上揭示知识的内部联系，提高他们分析问题和解决问题的能力。
化归包含着三个基本要素，即化归的对象，目标和方法，化归的对象就是待解问题中需要变更的成分，化归的目标是指所要达到的规范问题，化归的方法就是规范化的手段，和技术。其中化归方法是实现化归的关键[2]。
人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到问题A的答案，用框图可直观表示如下图，其中，问题B常被称作化归目标或方向，转化的手段则被称为化归途径或化归策略。
容易解决的问题
待解决问题

（转化）

化归 对象 ( 化归途径) 化归 目标

问题的解决
问题的解决

(还原)
2. 化归思想的作用
数学思想方法是伴随着数学的产生而产生, 并随着数学和数学教育科学的发展而发展的。任何一个重大数学成果的取得都与数学思想方法的突破分不开。中学数学中主要涉及的数学思想方法有: 符号化思想、模型化思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程的思想、化归思想等。在这些数学思想方法中, 化归思想是核心。化归思想方法统领着众多数学思想方法，是数学中最基本的思想方法，它着眼于揭示联系实现转化，在迁移转化中达到问题的规范化。其它各种思想方法大多渗透有化归思想。化归思想在数学解题中的普遍应用,可以说在中学数学解题过程中,这种思想无处不在。在数学课堂教学中挖掘和渗透化归思想,对于培养学生良好的思维品质,逐步形成优良的数学观念,提高数学素养,具有十分重要的意义,同时也是培养学生创新能力的重要手段。
2.1归属学习模式
当学生已有的观念在包摄和概括水平上高于新问题所涉及的知识时, 把新问题归属于原认知结构并使之相互联系的过程便构成了归属学习模式, 它可分为派生归属学习模式与相关归属学习模式, 化归方法主要广泛运用于后者。
【例1】已知，，，求。
解：∵，，∴
∵，∴
又∵∴

=
=
=
分析：该题若将转化为,再运用公式展开，则容易求解。
2.2 归总学习模式
在学生认知结构中已经形成的若干个观念基础上, 进一步学习一个包摄命题, 就是归总学习模式。它主要是根据命题的本质特征与已有的认知结构行类比、分析, 作出各种肯定或否定的实例,以达到问题的解决。
2.3联合学习模式
当问题与认知结构中原有的观念处于并列关系, 但它们在有意义学习中能产生联合的意义, 这种同化过程称为联合学习同化模式。产生联合学习同化模式的外部条件是新问题具有逻辑意义, 内部条件是原数学认知结构中已具备某种观念, 它们的合理结合, 可以导致问题的解决。化归方法在数学问题解决的应用中最为广泛的就是联合学习模式。
【例3】 已知，求的最大值.
解：由于，则可设，,y=rsinθ(0≤r≤1)，于是,易知
当且时取最大值。
3．化归在中学教学中的应用
3.1 化归在代数中的体现
代数中涉及的内容相当一部分是数式为形，通常所遇到的数学难题，其难解之处也在于题中所给的形式较为陌生。针对这一特点，当化归受阻时，首先应考虑将所给式子进行变形，然后根据变形后的式子特征进行联想往往可以找到化归途径。
【例4】求函数的最大值。
解：∵，
∴。
分析：该题若运用公式展开相当繁琐，难以求出结果。若把转化为,则非常容易。
目标定向指的是在解题时紧盯目标,由目标的特征,特性来确定化归的方向,找准变形目标,直至达到目标。
【例5】 求证：
解:左=
=
=右
分析：由目标确定化归方向：选用倍角公式化为，选公式时，尽可能选与余弦函数联系密切的公式。
将实际问题转化为数学问题，使之能用数学理论解决具体的实际问题。解答数学应用问题。要善于调整应用题中的条件关系和题型结构，使问题化难为易，化繁为简。若有些较复杂的应用题采用直接设元列方程转化较困难，则可合理地设置间接未知数来设法进行转化，以寻求解决问题的新途径。
【例6】李伟从家里骑摩托车到火车站，若每小时行30千米，那么他比火车开车时间早到15分钟。若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟。现在李伟打算在火车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应该是多少？
解：若设在火车站开车前10分钟到达火车站，李伟骑摩托车的速度应为
x千米/时，列方程相当困难。但若设李伟从家出发到火车开车时间为y小时，则由距离相等可十分方便的列出方程30(y−)=18(y+)，所以y=1
则x==27千米/时。
3.2 化归在几何中的应用
3.2.1数形结合化归
数形结合是指用函数图像、圆锥曲线的几何性质、图形的特性、数的性质等使数与形相互渗透,以达到解决问题的目的.
【例7】实数m为何值时，关于x的方程：的两个实根，满足。
x
y
O
1 2
x1 x2
图
解：设要使方程的两根，满足必须且只需

所以或,故当时,方程的两根，满足
分析：若直接利用求根公式或根与系数的关系求解，则步
履艰难；若把数的关系转化为图形（如图 4），则易求解。
3.2.2　辅助线面化归
　　　同平面几何问题一样，当题中的条件较为分散，隐蔽时，作辅助线、辅助面常可把图形中分散的元素集中起来，进而建立起条件与结论的联系，使隐蔽的条件明朗化。
　【例8】如图1，已知AC=BD，∠A=∠D=90°
求证：AB=CD。
证明：在△ABC和△DCB中，
∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）。
∴AB=CD（全等三角形对应边相等）.
分析：要证AB=CD，从已知条件入手，无法证明，于是连接BC（图中虚线），构造△ABC和△DCB。
4.中学数学化归思想的教学
化归是一种思考问题的方法与思路，是一种重要的数学思想，但这一思想，最重要的在于应用。当你不能再化归时，就是我们建立新概念、开辟新途径的时候了。但任何一个新概念的建立，又常常是用化归的方法解决的。要让学生尽快并熟练地掌握这一方法，既要教师通过几个典型课例做好专题讲座，又要在一段时间内进行必要的强化训练，
数学的化归思想与方法，应该是初等教育阶段数学教学的一个主要任务掌握了这一方法的学生，就能够学好数学，就能大大提高数学思维的品质，所以教师的教学就显得异常重要。
在充分肯定化归方法在数学学习和研究中的重要作用的同时, 也应注意到, 它主要是一种解决问题的方法, 而不是发现问题的方法。这是化归法本身的局限性。另外, 应用化归方法解决数学问题时, 还受到学生认知结构的限制以及其它数学能力的制约。因此, 在教学过程中, 我们应从以下几个方面入手, 形成与发展学生的化归思想。
4.1 挖掘教材中实现化归方法的因素
数学思想是教材体系的灵魂, 它支配着整个教材。使数学概念、命题、问题的解决相互紧扣, 相互支持, 从而组成一个完整的联合体系。化归方法在中学教材中出现的频数相当大。教师应根据教材内容, 化隐为显, 把握化归方法, 采用循序渐进的教学原则, 结合不同阶段的知识教学, 有意识地反复孕育和渗透化归方法。
【例9】已知函数其中都是非零实数又知,求
解：

即,
从而
分析：此问题可以化归为求为末尾数字且为自然数时的一般情况。当时；当时欲求等于多少,需要找它与之间的联系,这个联系就是解本题的关键。
4.2 提倡过程教学, 优化学生的认知结构
我国的基础教育是素质教育,最终目的是全面培养学生的数学素质。培养学生形成各种数学能力是提高数学素质的根本途径。因此, 必须改变重结果、重知识链的教学方式, 建立起重知识的发生过程、重能力链的教学方式, 并以数学科学和学科体系为背景, 整体设计教学过程, 引导学生积极参与课堂教学, 充分发挥学生学习的主动性, 使学生知识结构与认知结构相统一, 形成一定的数学意识和创造能力。
在教学中, 一方面应让学生始终处于一种积极、创造的状态,通过自己多方面的活动来发现有关的知识, 另一方面教师应引导学生加强反思, 巩固已获得的知识, 以利于新知识、新问题以同化或顺应的方式纳入学生已有的数学认知结构中,提高学生的思维水平，形成良好的数学认知结构[3]。也只有建立了良好的数学认知结构, 才能较自觉地进行知识的迁移, 并运用化归方法中熟悉化、简单化、和谐化原则来解决数学问题。
4.3 树立现代思维意识, 注重其他数学思想
如前所述, 化归方法是一种数学思想方法, 有它的局限性, 在渗透化归方法的同时, 应加强其他思想方法的渗透, 将各种思想方法合理结合, 灵活运用。
当前, 培养学生的思维能力是数学教师的重要任务。数学思维能力直接影响着各种数学思想方法在教学中的渗透。因此, 在教学过程中, 应该变单向性思维方式为多向性思维方式, 有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题；变静态思维方式为动态思维方式,揭示前后知识的联系与变化, 培养学生的辨证思维能力, 更好地把握事物的本质；变整理性思维方式为发展性思维方式, 让学生更多地参与探索性思维的活动, 加强发现性思维的训练；变定向性思维为求异性思维方式, 大胆鼓励学生去分析、比较、类比和联想。
【例10】求函数的最小值。
解：直觉观察，不易找到化归途径，对右边变形，可化归为

其特征可以促使我们联想到：复数的模，向量的模以及两点间的距离，这些信息确立了化归的方向。
　　　令
则
。
等式成立的条件：与共线，易得时。
分析：这个问题中主要联合到等式与不等式，运用可以促使我们联想到：复数的模，向量的模以及两点间的距离，这些信息确立了化归的方向。
为了提高学生的化归能力, 应在学习数学知识的同时进行数学语言的理解与应用能力的培养, 这是学生娴熟地使用数学语言实现问题化归的重要保证。中学数学中常用的数学语言主要有文字语言、符号语言、图像语言、逻辑语言、学生学习数学的过程中, 就是利用语言改变已有的知识体系, 重新调整和建构认识结构的过程。因此, 在数学教学过程中, 必须提高学生运用数学语言的水平, 要让学生善于选择和使用准确、精炼、规范的语言。例如, 代数中语言与式的互化；几何中图形与语言的互化；各种文字叙述与符号表示的互化等等。平时还应注意训练学生用自己的语言重新阐明各种观念, 更易于数学问题的同化。
总之, 化归思想是一个应用十分广泛的数学思想方法, 在大力提倡数学素质教育和问题解决的今天, 将此思想及其它数学思想方法贯穿于教学过程的始终具有积极的意义。
结束语
经过了两个多月的学习和工作，我终于完成了《中学数学中的化归及其教育》的论文。从开始接到论文题目到探索的过程，再到论文文章的完成，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战，这也是我在大学期间独立完成的最大的项目。在这段时间里，我学到了很多知识也有很多感受，虽然我的论文作品不是很成熟，还有很多不足之处，但我可以自豪的说，这里面的每一数字每一字，都有我的劳动。当看着自己的论文，真是莫大的幸福和欣慰。我相信其中的酸甜苦辣最终都会化为甜美的甘泉。
论文主要写化归思想的含义，化归思想的应用，本文将从多个角度全面进行梳理总结概括并进行新的探讨，让教师更容易把握教授化归思想，使学生对化归思想有着更清晰的认识，这对于中学新课程改革及教育教学都有着非常重要的作用。化归思想是一个应用十分广泛的数学思想方法, 在大力提倡数学素质教育和问题解决的今天, 将此思想及其它数学思想方法贯穿于教学过程的始终具有积极的意义。
这次做论文的经历也会使我终身受益，我感受到做论文是要真真正正用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程，没有学习就不可能有探索的能力，没有自己的探索，就不会有所突破，那也就不叫论文了。希望这次的经历能让我在以后学习中激励我继续进步。

参考文献：
[1] 张雄，李得虎.数学方法论与解体研究. 高等教育出版社，2013(2):83
[2] 张雄，李得虎.数学方法论与解体研究. 高等教育出版社，2013(2):85
[3] 朱淑花. 数学解题中的化归思想[J].潍坊学院学报.2005（2）：90-92.

致 谢
大学四年很快就要结束了，在这宝贵的四年学习过程中，我认识了数学系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！
感谢我的指导老师阿不力米提副教授，对我毕业论文的细心指导。阿不力米提老师严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，在这过程中对毕业论文多次进行修改，耐心的指导，提出了宝贵的意见和新的方法，培养了新的数学思想，进一步提高了我的各方面的能了，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助。
同时我要感谢我大学四年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊.
到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对阿不力米提老师表示最诚挚的谢意和祝福！
此致
敬礼

古丽妮尕尔·麦麦提
2012年5月9日

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