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10定点、定值问题是2012年高考卷中解析几何大题的靓点.doc
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1、定点、定值问题是2012年高考卷中解析几何大题的靓点笔者发现,在2012年高考卷中有多道解析几何大题是考查定点、定值问题的,而解决这些问题的利器是多项式恒等定理 设多项式其中是复数常数,N*),若有个两两不同的复数使得,则多项式与恒等(即它们的同次项系数相等).证明 由题设得多项式方程有个两两不同的复数根,而由代数基本定理知,一元次方程最多有个两两不同的复数根,由此知恒成立,即欲证成立.推论1 设多项式其中是复数常数,N*),若有个两两不同的复数使得是定值,则.证明 设是定值.在多项式恒等定理中令,得多项式与恒等,所以.推论2 设多项式其中是复数常数,N*),若有个两两不同的复数使得常数,则.
2、证明 在多项式恒等定理中令为这里的,便可获证.1 湖南理科卷高考题1 (2012湖南理21)在直角坐标系中,曲线上的点均在外,且对上任意一点到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.(I)求曲线的方程;(II)设为圆外一点,过作圆的两条切线,分别于曲线相交于点和.证明:当在直线上运动时,四点的纵坐标之积为定值.下面给出这道高考题的一般情形.定理1 在平面直角坐标系中,动点在定直线上,过点能作定圆的两条不同切线(且切线的斜率存在),且分别与定抛物线交于点和(这四个点互不相同),则这四个点的纵坐标之积为定值的充要条件是,且定值为.证明 设点,过点作定圆的切线斜率是,得切线的方程是,即,可得设切线
3、的斜率分别为,得 得切线的方程是,即.把它代入抛物线,得同理 再由,得再由推论2中时的情形可得欲证.2 江西理科卷高考题2 (2012江西理20)已知三点,曲线上任意一点满足.(1)求曲线的方程;(2)动点在曲线上,曲线在点处的切线为.问:是否存在定点,使得与都相交,交点分别为,且与的面积之比是常数?若存在,求的值.若不存在,说明理由.下面给出这道高考题第(2)问的一般情形.定理2 设定点在定抛物线上且关于轴对称,点是抛物线弧上的任意一点(但不是端点),则存在定点使得在点处的切线与直线都相交(设交点分别为)且与的面积之比是定值的充要条件是为点的纵坐标的相反数(且定值).证明 如图1,可设.图1
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