高考数学数形结合思想在解题中应用.doc

第5讲 数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析
例1.
分析：
，

例2.
解：法一、常规解法：

法二、数形结合解法：

例3.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
分析：
出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

例4.

分析：

例5.
分析：
构造直线的截距的方法来求之。

截距。

例6.

分析：
以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

例7.
MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（ ）

分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如图），
又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，
∴ON是△MF1F2的中位线，
②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。
例8.
分析：

例9.
解法一（代数法）：，

解法二（几何法）：

例10.
分析：
转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。
解：

第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

相切于第一象限时，u取最大值

三、总结提炼
数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

四、强化训练
见优化设计。
【模拟试题】
一、选择题：
1. 方程的实根的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
4. 适合且的复数z的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个
5. 若不等式的解集为则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知复数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] D. [1，2]
8. 定义在R上的函数上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（ ）
A. B.
C. D.

二、填空题：
9. 若复数z满足，则的最大值为___________。
10. 若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为___________。
11. 若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。
12. 函数的最小值为___________。
13. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。

三、解答题：
14. 若方程上有唯一解，
求m的取值范围。
15. 若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。
16. 设，试求下述方程有解时k的取值范围。

【试题答案】
一、选择题
1. C
提示：画出在同一坐标系中的图象，即可。

2. D
提示：画出的图象

情形1：

情形2：
3. A
4. C
提示：|Z－1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条件，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足，故满足条件的z有两个。

5. B
提示：画出的图象，依题意，从而。

6. C
提示：由可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，

而
表示复数对应的点的距离，
结合图形，易知，此距离的最大值为：

7. C
提示：令，
若a>1，两函数图象如下图所示，显然当时，

要使，只需使，综上可知
当时，不等式对恒成立。
若，两函数图象如下图所示，显然当时，不等式恒不成立。

可见应选C
8. A
提示：f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f(x+2)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在（）上为增函数，可知，f(x)在上为减函数，依此易比较函数值的大小。

二、填空题：
9.
提示：|Z|=2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动，（如下图），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示复数Z与－1+i对应的两点的距离。

由图形，易知，该距离的最大值为。
10.
提示：由知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知的大小。

11.
提示：设，画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使

12. 最小值为
提示：对，联想到两点的距离公式，它表示点（x，1）到（1，0）的距离，表示点（x，1）到点（3，3）的距离，于是表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得。
13.

提示：y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即。

三、解答题：
14. 解：原方程等价于
令，在同一坐标系内，画出它们的图象，
其中注意，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]{1}。

注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。

15. 解：令表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。

由于不等式解集
因此，只需要
∴a的取值范围为（2，+）。
16. 解：将原方程化为：，
∴
令，它表示倾角为45°的直线系，
令，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分，
∵原方程有解，
∴两个函数的图象有交点，由下图，知

∴
∴k的取值范围为

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